Le cinquième postulat

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

D’Euclide à Einstein en passant par Riemann et Lobatchevsky, découvrez comment créer des géométries bizarres qui pourraient bien permettre de se téléporter et de remonter le temps !

Le cinquième postulat d’Euclide, un énoncé qui hanta les mathématiciens durant des siècles. Si vous avez regardé la vidéo, vous savez désormais qu’il fut même contredit au dix-neuvième siècle de deux manières qui ont permis de construire des géométries non euclidiennes.

La formulation simple de ce postulat (« Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée ») est en réalité due à Proclus dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments d’Euclide. Grand commentateur, Proclus fit partie de l’école néoplatonicienne d’Athènes au cinquième siècle de notre ère. Ce Byzantin de naissance s’opposa au christianisme, ce qui le conduit à l’exil, écrivit des Eléments de théologie, où il procède selon la méthode euclidienne (more geometrico eût dit Spinoza). On le connaît notamment aujourd’hui pour ses commentaires sur l’œuvre de Platon.

Proclus nous expose en quelques mots la puissance des Eléments d’Euclide : « Dans un pareil traité, il faut : éviter tout superflu, c’est un embarras pour l’étudiant ; réunir tout ce qui se tient ensemble et embrasse le sujet, chose essentielle pour la Science ; viser principalement et en même temps à la clarté et à la concision, car leurs contraires troublent l’intelligence ; chercher à donner aux théorèmes la forme la plus générale, car le détail de l’enseignement en cas particuliers ne fait que rendre la connaissance plus difficile à acquérir. A tous ces points de vue, on trouvera que le traité élémentaire d’Euclide l’emporte sur tout autre ; si l’on en considère l’utilité, il aboutit à la théorie des figures primordiales ; la clarté et l’enchaînement régulier sont assurés par la marche du plus simple au plus composé et par le fondement de la théorie sur des notions communes, la généralité des démonstrations par le choix du point de départ pour les questions à traiter, dans les théorèmes qui donnent les principes »[1].

Le fait de contredire un énoncé équivalent au cinquième postulat d’Euclide plutôt que de s’attaquer directement à l’énoncé originel permet de travailler sur une question plus intuitive : on se donne un point extérieur à une droite et on cherche à tracer une parallèle à cette droite passant par ce point. C’est plus simple que de travailler sur l’énoncé d’Euclide : « Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté ».

En mathématiques, il n’est pas rare de procéder ainsi et cela peut même aller plus loin. On peut par exemple, au lieu de travailler sur des droites, travailler sur les points qui s’en déduisent. C’est ce que l’on appelle la dualité. Et cela pourrait, pourquoi pas, faire l’objet d’une vidéo…

[1] Traduit par Paul Tannery, in La géométrie grecque, Gauthier-Villars, 1887, p. 143.


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