Archives de l’auteur : Antoine Houlou-Garcia

À propos Antoine Houlou-Garcia

Antoine Houlou-Garcia, ancien élève de l’ENSAI et ayant travaillé sept ans à l’Insee, se consacre actuellement à son doctorat à l’EHESS sur la mathématisation de la théorie politique. Né en 1987, il a publié Métamorphoses de la poésie (La Cheminante, 2013) et Le monde est-il mathématique ? (Honoré Champion, 2015). Il écrit, présente et réalise la chronique vidéo Arithm’Antique, qui lie mathématiques et antiquité.

La trisection d’Hippias

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Comment diviser un angle en trois parties égales à la règle et au compas ? Vous découvrirez dans cette vidéo la méthode d’Hippias, le célèbre sophiste et opposant régulier de Socrate. Mais peut-on vraiment n’utiliser qu’une règle et un compas pour appliquer la méthode d’Hippias ?

Dans la vidéo, nous avons vu que Pierre-Laurent Wantzel a démontré l’impossibilité de résoudre les trois grands problèmes de l’Antiquité à la règle et au compas. Voici les premières lignes, relativement lisibles par rapport à la suite, de ses Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas :

« Supposons qu’un problème de Géométrie puisse être résolu par des intersections de lignes droites et de circonférences de cercle : si l’on joint les points ainsi obtenus avec les centres des cercles et avec les points qui déterminent les droites on formera un enchaînement de triangles rectilignes dont les éléments pourront être calculés par les formules de la Trigonométrie; d’ailleurs ces formules sont des équations algébriques qui ne renferment les côtés et les lignes trigonométriques des angles qu’au premier et au second degré; ainsi l’inconnue principale du problème s’obtiendra par la résolution d’une série d’équations du second degré dont les coefficients seront fonctions rationnelles des données de la question et des racines des équations précédentes. D’après cela, pour reconnaître si la construction d’un problème de Géométrie peut s’effectuer avec la règle et le compas, il faut chercher s’il est possible de faire dépendre les racines de l’équation à laquelle il conduit de celles d’un système d’équations du second degré composées comme on vient de l’indiquer. »

C’est par ce texte et les calculs qui suivent que, en moins de dix pages, Wantzel détruit définitivement le rêve que formait Euclide, 2000 ans avant, en donnant la démonstration qu’on ne peut pas tout construire à la règle et au compas.

La règle et le compas

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Comment et pourquoi construire des figues géométriques à la règle et au compas ? Venez voyager dans la géométrie grecque et amorcer le problème de la trisection de l’angle, qui sera poursuivi au prochain épisode…

Le compas est un instrument de mesure du monde, en témoigne le célèbre tableau de William Blake où Newton prend des mesures grâce à l’instrument, ou encore celui où il représente Dieu lui-même dont le pouce et l’index prennent justement la forme d’un compas.

Règle et compas sont deux instruments nécessaires pour construire le monde ; c’est ainsi que Vitruve en dit : « La géométrie offre plusieurs ressources à l’architecte : elle le familiarise avec la règle et le compas, qui lui servent surtout à déterminer l’emplacement des édifices. »

En effet, une Cité idéale comme celle d’Urbin, les villas de Palladio aux abords de Vicence ou encore le projet de cité idéale de Chaux imaginé par Ledoux sont autant de preuves que l’architecte raisonne exclusivement à la règle et au compas.

C’est Talos (ou Calos), le neveu de Dédale qui inventa le compas, ainsi que le tour de potier et la scie. Ce neveu trop brillant agace Dédale qui le pousse du haut de l’Acropole. Heureusement, Athéna le change en perdrix avant qu’il ne s’écrase. Comme quoi, maîtriser l’art du compas donne des ailes !

 

 

L’infini

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

L’infini est une notion très délicate à embrasser. Regardez la vidéo pour comprendre en quoi cette notion est reliée à celle du changement de concept d’Anaxagore de Clazomènes à Nicolas de Cues en passant par le champagne et les intégrales !

Pour compléter la vidéo consacrée à l’infini, voici le moment dans La Docte ignorance où Nicolas de Cues expose comment le passage à l’infini crée nécessairement un changement de concept avec la très belle image du cercle qui devient une droite :

« Je déclare donc que, s’il y avait une ligne infinie, elle serait une droite, un triangle, un cercle, une sphère. Et, de même, s’il y avait une sphère infinie, elle serait un cercle, un triangle et une ligne. Et il faut dire la même chose du triangle infini et du cercle infini.

Premièrement, il est évident qu’une ligne infinie est une droite. Le diamètre d’un cercle est une ligne droite, et la circonférence est une ligne courbe plus grande que le diamètre. Si donc la ligne courbe est d’autant moins courbe que la circonférence est celle d’un cercle d’autant plus grand, alors la circonférence du cercle maximum, qui ne peut être plus grande, est courbe au minimum et droite au maximum. Ainsi, le maximum coïncide avec le minimum, et l’œil voit qu’il est nécessaire dans ces conditions que la ligne maximale soit courbe au minimum et droite au maximum.

Et sur ce point, il ne peut rester le moindre doute quand on voit, sur la figure ci-contre, comment l’arc CD d’un plus grand cercle s’éloigne plus de la curvité que l’arc EF d’un cercle moins grand, et l’arc EF s’éloigne encore plus de la curvité que l’arc GH d’un cercle encore moins grand. Donc, la ligne droite AB sera l’arc du cercle maximum, qui ne peut être plus grand. »[1]

Quant à la phrase d’Anaxagore qui rappelle le fameux « Rien ne se perd, rien ne se crée : tout se transforme » attribué à Lavoisier, la voici citée par Hippocrate :

« Assurément, aucune des choses n’est détruite et nulle n’est engendrée, parce que rien encore n’existait auparavant ; en fait il se produit une altération par mélange et discrimination. »[2]

[1] Nicolas de Cues, La Docte Ignorance, Payot & Rivages, 2008, p. 66.

[2] Hippocrate, Du régime, I, 4.