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Archimède : Eurêka

On connaît le cri « Eurêka » prononcé par Archimède ; mais sait-on ce qu’il avait trouvé à ce moment-là ? Quel est le rapport en une couronne en or et les principes de l’hydrostatique ? 

Etre un scientifique, c’est être habité par des énigmes à chaque instant. C’est alors qu’il prenait un bain en s’interrogeant sur une enquête scientifique digne des plus grands romans policiers qu’Archimède trouva la solution de son problème et par là même la loi qui restera dans l’histoire sous le nom de « principe d’Archimède ». Pour préciser cette histoire abordée dans la vidéo, voici le récit complet qu’en fait Vitruve :

Quant à Archimède, il a certes fait bien d’admirables découvertes dans maints domaines, mais c’est encore celle que je vais exposer qui, parmi toutes les autres, témoigne, semble-t-il, d’une ingéniosité extrême. Hiéron de Syracuse, parvenu au pouvoir royal, avait décidé de placer dans un temple, en raison de ses succès, une couronne d’or promise par un vœu aux dieux immortels : il mit le prix de l’exécution en adjudication et il pesa à l’adjudicataire, au peson, l’or nécessaire. Celui-ci soumit en temps voulu son travail, exécuté à la main avec finesse, à l’approbation du roi et, à l’aide du peson, il fit la preuve, sembla-t-il, du poids de la couronne. 10. Quand Hiéron apprit par dénonciation qu’une certaine quantité d’or avait été ôtée et remplacée par l’équivalent en argent, incorporé à l’objet, votif, furieux d’avoir été berné, mais ne trouvant aucun moyen de mettre la fraude en évidence, il pria Archimède d’y consacrer pour lui ses réflexions. Et le hasard fit que, avec ce souci en tête, celui-ci alla au bain, et là, descendant dans la baignoire, il remarqua qu’il s’en écoulait une quantité d’eau égale au volume de son corps, quand il s’y installait. Cela lui révéla le moyen de résoudre son problème : sans tarder, il bondit plein de joie hors de la baignoire et, prenant tout nu le chemin de sa maison, il manifestait à voix haute, à tout venant, qu’il avait trouvé ce qu’il cherchait. Car dans sa course il ne cessait de crier, en grec : « J’ai trouvé, j’ai trouvé ! »[1]. 11. Alors, mis ainsi sur le chemin de sa découverte, il fabriqua, dit-on, deux lingots de poids égal – qui était aussi celui de la couronne – l’un d’or, l’autre d’argent. Cela fait, il remplit d’eau jusqu’au bord un grand vase, dans lequel il plongea le lingot d’argent. Il s’écoula une quantité d’eau égale au volume immergé dans le vase. Ainsi, une fois le lingot retiré, il y versa à nouveau la quantité d’eau manquante, en mesurant avec un setier, de manière que, comme tout à l’heure, le niveau affleurât le bord. Il trouva ainsi le poids d’argent déterminé correspondant à une quantité d’eau déterminée. 12. Cette expérience faite, il plongea alors de la même manière le lingot d’or dans le vase plein, et, après l’avoir retiré, il fit alors sa mesure suivant une méthode semblable : parlant de la quantité d’eau nécessaire, non pas égale mais plus faible, il trouva dans quelle proportion, à poids égal, le lingot d’or était moins volumineux que celui d’argent. Or ensuite, après avoir rempli le vase et plongé cette fois la couronne dans la même eau, il trouva qu’il s’était écoulé plus d’eau pour la couronne que pour le lingot d’or de poids égal, et ainsi, partant du fait qu’il manquait plus d’eau dans le cas de la couronne que dans celui du lingot, il mit en évidence par son raisonnement l’alliage d’argent dans l’or et la fraude patente de l’adjudicataire.

De l’architecture, IX, Praef., 9-12 (édition C.U.F.)

 

[1] εὕρηκα, εὕρηκα, en grec dans le texte latin de Vitruve.

Léonard et la quadrature

De la quadrature du cercle à l’Homme de Vitruve dessiné par Léonard de Vinci, on vous raconte comment mettre des carrés dans des cercles.

Voici l’ensemble du passage de Vitruve cité partiellement dans la vidéo :

L’ordonnance d’un édifice consiste dans la proportion, chose à laquelle l’architecte doit apporter le plus grand soin. Or, la proportion naît du rapport de grandeur que les Grecs appellent ἀναλογία. Ce rapport est la convenance de mesure qui existe entre une certaine partie des membres d’un ouvrage et le tout ; c’est d’après cette partie qu’on règle les proportions. Car il n’est point d’édifice qui, sans proportion ni rapport, puisse être bien ordonné ; il doit avoir la plus grande analogie avec un corps humain bien formé.

Or, voici les proportions que lui a données la nature : le visage, depuis le menton jusqu’au haut du front, à la racine des cheveux, est la dixième partie de la hauteur de l’homme ; la paume de la main, depuis l’articulation du poignet jusqu’au bout du doigt du milieu, a la même longueur ; la tête, depuis le menton jusqu’au sommet, forme la huitième partie; même mesure par derrière; depuis le haut de la poitrine jusqu’à la racine des cheveux, il y a une sixième partie, et jusqu’au sommet de la tête une quatrième. La longueur du visage se divise en trois parties la première s’étend depuis le bas du menton jusqu’au-dessous du nez ; la seconde, depuis le dessous du nez jusqu’au haut des sourcils, et la troisième, depuis cette ligne jusqu’à la racine des cheveux, qui termine le front. Le pied a la sixième partie de la hauteur du corps ; le coude, la quatrième, de même que la poitrine. Les autres membres ont aussi leurs mesures et leurs proportions ; c’est en les observant que les plus célèbres peintres et sculpteurs de l’antiquité ont acquis une réputation si grande et si durable.

Il en est de même des parties d’un édifice sacré : toutes doivent avoir dans leur étendue particulière des proportions qui soient en harmonie avec la grandeur générale du temple. Le centre du corps est naturellement au nombril. Qu’un homme, en effet, soit couché sur le dos, les mains et les pieds étendus, si l’une des branches d’un compas est appuyée sur le nombril, l’autre, en décrivant une ligne circulaire, touchera les doigts des pieds et des mains. Et de même qu’un cercle peut être figuré avec le corps ainsi étendu, de même on peut y trouver un carré : car si on prend la mesure qui se trouve entre l’extrémité des pieds et le sommet de la tête, et qu’on la rapporte à celle des bras ouverts, on verra que la largeur répond à la hauteur, comme dans un carré fait à l’équerre.

Quant à la quadrature du cercle, si elle est insoluble, elle a néanmoins donné l’idée de s’en moquer à Aristophane dans Les Oiseaux où Métôn, le géomètre ridicule et incompréhensible, en souffle quelques mots :

J’applique une règle droite, de manière à ce que tu aies un cercle tétragone ; au centre est l’Agora, les rues qui y conduisent sont droites et convergentes au centre, ainsi que d’un astre, qui est rond de sa nature, partent des rayons droits qui brillent dans tous les sens.

L’idée du nombre

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des Classiques

Nous utilisons les nombres tous les jours, mais quelle est la signification du mot « nombre » et quelles connexions inhérentes à ce concept peut-on dénicher ? Venez voyager entre mathématiques, épistémologie et étymologie !

Cet épisode parle des nombres, mais aucune mention n’a été faite de l’arithmétique. Pour pallier l’incomplétude d’une vidéo qui se doit d’être assez brève. 

Le terme arithmétique dérive du grec arithmos qui désigne le nombre (c’est donc la traduction grecque du latin numerus), mais aussi le rythme (tout comme numerus désignait la mesure en musique) et donnera d’ailleurs l’anglais rhyme qui désignait anciennement un nombre et plus récemment une rime et, par métonymie, un poème.

Mais arithmos n’a pas la même origine que numerus : le terme grec est certainement[1] à mettre en relation avec le verbe sanskrit ar, qui signifie adapter, ajuster, et dont dérive le verbe grec harmozô qui a le même sens, parent direct du terme harmonie. D’autre part, le participe passé passif de ce même verbe sanskrit ar est rita qui donne les termes français rite et rituel.

Ce que porte en soi le terme arithmétique est donc cet ordonnancement du monde, cette harmonie universelle à laquelle les pythagoriciens étaient si attachés et qu’ils traduisent notamment par la tetractys (cf. épisode 5), figure hautement symbolique puisqu’intimement liée au rite d’initiation de la secte. Pensons bien que les rituels sont des manières de contrôler l’univers pour s’attirer les faveurs divines tout comme la commensurabilité permet de contrôler l’univers par le biais des nombres. Si les nombres sont intimement liées aux choses comme le pensait Pythagore, alors il est logique que l’arithmétique, science des nombres, soit aussi gage de l’harmonie du monde, du cosmos. Cela explique naturellement le fondement même de la gamme pythagoricienne, basée sur des rapports de nombres (cf. épisode 2)

[1] Il existe un débat opposant d’une part les partisans d’une racine indo-européenne commune aux termes arithmétique et rite et d’autre part ceux qui verraient deux racines proches mais distinctes. Nous faisons ici le pari que l’origine est commune.