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Les fractales

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Les fractales sont des formes qui fascinent, mais on sait rarement que les premiers modèles de fractales sont dues à Apollonios de Perga au IIIe siècle avant notre ère. Regardez la vidéo pour découvrir comment le géomètre grec en est venu à imaginer ce type de formes et venez en apprendre les secrets pour en construire vous-même !

Comment est-il possible de parler de fractales dans une vidéo qui s’intéresse à l’antiquité ? Tout part d’Apollonios de Perga, un géomètre très reconnu pour ses travaux sur les coniques qui, malgré lui, inventa la première fractale de l’histoire. Pour découvrir comment, regardez la vidéo ci-dessous.

Anaxagore de Clazomènes, lui qui fut le premier philosophe présocratique à venir s’installer à Athènes, y créant ainsi toute la fièvre philosophique qui fit la réputation de la ville. Anaxagore y eut d’ailleurs pour élèves Périclès et Euripide. Pour le philosophe originaire de la côte ionienne, près de l’actuelle Izmir, il n’y a ni création, ni destruction; il y a seulement union et séparation d’éléments déjà existants. Cela n’est bien sûr pas sans rappeler la célèbre phrase attribuée au chimiste Antoine de Lavoisier : « Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme ». Mais Anaxagore en déduit donc quelque chose de plus profond du point de vue philosophique :

« nulle chose n’existe d’une manière totalement discriminée d’une autre chose. […] Elles ne sont pas séparées d’un coup de hache, le chaud séparé du froid et le froid du chaud. »[1] 

C’est ainsi qu’il exprimera une phrase capable d’expliquer à elle seule l’architecture des fractales qu’il ne connaissait pourtant pas :

« En toute chose se trouve renfermée une partie de chacune des choses »[2].

Une telle sentence n’est pas sans en rappeler une autre, beaucoup plus connue, due à Montaigne qui écrivait que chacun « porte en soi la forme entière de l’humaine condition »[3].

[1] Deux phrases d’Anaxagore citées par Simplicius : Commentaire sur la Physique d’Aristote, 175, 11.

[2] Cité par Simplicius, Commentaire sur la Physique d’Aristote, 27, 2.

[3] Montaigne, Essais, Livre III, chapitre 2, « Du repentir ».

Thalès

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Voici le premier épisode d’Arithm’Antique consacré non pas à une notion mais à une personne, et ce n’est pas la moindre puisqu’il s’agit de Thalès de Milet. Premier philosophe, premier mathématicien : c’est ce que l’Histoire en retient habituellement. Mais que sait-on du personnage historique ? Que sait-on de ses influences et qui a-t-il lui-même influencé ?

Au-delà du simple nom que l’on associe au fameux « théorème de Thalès », ce septième épisode vous fera découvrir des anecdotes croustillantes et des idées méconnues. On a tous vaguement en tête le théorème de Thalès, mais qui était ce Monsieur Thalès ? Cette vidéo vous présente ce philosophe, mathématicien, initiateur de la pensée moderne, mais aussi personnage astucieux et roublard qui aida Crésus à traverser un fleuve et fit la première spéculation économique de l’histoire !

En plus de Thalès, ce personnage si important dans l’histoire de la science et de la philosophie, vous pourrez également découvrir quelques idées de son disciple Anaximandre de Milet. Voici deux citations qui complètent ce que ce septième épisode d’Arithm’Antique vous a présenté sur sa pensée :

Il affirme encore que l’homme a été au commencement engendré à partir d’animaux d’espèces différentes, compte tenu du fait que les autres animaux se nourrissent très tôt par leurs propres moyens alors que l’homme est le seul à réclamer un allaitement prolongé : c’est pourquoi, au commencement, l’homme n’aurait pas pu trouver son salut, si sa nature avait déjà été telle qu’elle est maintenant. [1]

Les animaux sont engendrés à parti de l’humide évaporé par le Soleil. Mais l’homme est engendré par un autre animal, plus précisément le poisson, et au commencement ressemblait à un poisson. [2]

Plus de deux millénaires avant Darwin, il fallait y penser !

[1] cité par le Pseudo-Plutarque, Stromates, 2.

[2] cité par Hipployte,  Réfutation de toutes les hérésies, I, 6.

Le nombre d’or

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Tout le monde a entendu parler du nombre d’or sans forcément savoir ce qu’il est. Venez voyager voyager dans sa construction mathématique pour voir qu’on peut le retrouver dans l’architecture aussi bien que dans la nature… ou pas !

Si vous avez trouvé de quel tableau est issue cette forme géométrique cristalline qui apparaît sur la vidéo, bravo à vous ! Sinon, regardez à nouveau la vidéo ci-dessus et vous la verrez apparaître au côté d’un certain Luca Pacioli, ce franciscain inventeur de la comptabilité mais aussi grand promoteur du nombre d’or. Eh oui car le nombre d’or était très peu utilisé par les Anciens, bien qu’ils le connussent sous le nom de proportion harmonieuse, et ce n’est qu’avec la Renaissance que sa renommée a littéralement explosé. Aujourd’hui, de nombreux mathématiciens tentent d’expliquer la nature par le biais de ce nombre, mais il faut bien reconnaître que c’est une douce illusion. Par ailleurs, des artistes l’utilisent pour composer leurs œuvres : sans tomber dans l’excès et la surinterprétation, il est fort probable que Bartók ait utilisé le nombre d’or pour créer des rythmes harmonieux. De certaine en revanche, Xenakis et Le Corbusier se sont penchés sur son utilité en musique et en architecture. N’oublions pas que le premier était l’assistant du second avant de se consacrer à la musique. Enfin, voici ce que la divine proportion évoque chez Paul Valéry dans son Cantique des Colonnes :

Filles des nombres d’or,

Fortes des lois du ciel,

Sur nous tombe et s’endort,

Un Dieu couleur de miel.

Les nombres triangulaires

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Les nombres peuvent-ils être des formes géométriques ? Évidemment ! C’est même grâce à des astuces géométriques que les grecs, notamment les pythagoriciens, parvenaient à faire nombre de calculs. D’ailleurs, pour eux, les nombres représentent bien plus :

« Selon Philolaos, la grandeur mathématique à trois dimensions est contenue dans le nombre 4, la qualité et la couleur de la nature visible dans le nombre 5, le principe vital dans le nombre 6, l’intellect, la santé et ce qu’il appelle la lumière dans le nombre 7. Après quoi, il ajoute que l’amour, l’amitié, la ruse et l’intellection ont conférés aux êtres par le nombre 8. » (Pseudo-Jamblique, Théologoumènes arithmétiques, éd. De Falco, 74, 10.)

Mais le nombre le plus important pour les pythagoriciens est le nombre 10 car c’est un nombre triangulaire ! En plus de cela, il possède bien des propriétés…

Eh oui le nombre 10 est parfait. Voici quelques précisions sous la plume de Philolaos, le philosophe pythagoricien amateur de musique :

« Le nombre 10 est parfait ; et en droit et par nature, nous revenons toujours à lui, quelle que soit notre manière de compter, que nous soyons grecs ou de toute autre nationalité, que nous le voulions ou non. D’abord, il se doit d’être un nombre pair, pour contenir un nombre égal de pairs et d’impairs et empêcher un déséquilibre entre eux […]. Ensuite, il faut que ce nombre contienne une quantité égale de nombres premiers simples et de nombres seconds composés : c’est bien le cas du nombre 10 qui est d’ailleurs le plus petit nombre dans ce cas. […] Par ailleurs, dans le nombre 10 sont contenus tous les rapports : égalité, supériorité, infériorité, superpartialité etc. ainsi que les nombres linéaires[1], plans[2] et cubiques[3]. En effet, 1 est le point, 2 la ligne, 3 le triangle, 4 la pyramide : tous ces nombres viennent en premier et sont les principes des familles numériques à laquelle chacun des suivants appartient. De plus, la première de toutes les progressions mathématiques, c’est bien celle qui se voit ici : le nombre 10 est le dernier terme d’une progression arithmétique où la différence entre un terme et son antécédent est égale. »[4]

Si vous pensez que la symbolique des chiffres s’arrête là, détrompez-vous ! Elle permettait même, d’après Empédocle, de savoir si un fœtus était viable ou non :

« Empédocle lui aussi connaît les deux sortes de temps propres à la grossesse. C’est pourquoi il applique aux femmes l’épithète : aux deux grossesses et il a dit même qu’il existait un dépassement du nombre des jours de la grossesse, et aussi que les fœtus de huit mois sont non viables ; et cela est fort vraisemblable. Car le premier nombre des grossesses de sept mois, qui est 35, est formé de la somme des nombres 6, 8, 9, 12 dont les extrêmes 6 et 12 sont dans un rapport double et constituent l’octave. Le premier nombre des grossesses de neuf mois, 45, est formé de la somme des nombres consonants 6, 9, 12, 18, dont les extrêmes sont dans un rapport triple. Or il n’y a pas d’autre rapport consonant entre ces nombres, de sorte que, selon toute vraisemblance, en l’absence de consonance, les fœtus de huit mois sont non viables. »[5]

Eh oui, pour lui, les propriétés arithmétiques règlent les phénomènes physiologiques. Heureusement qu’il était philosophe plutôt que gynécologue…

[1] Le nombre 1.

[2] Le nombre 4.

[3] Le nombre 8.

[4] Cité par Pseudo-Jamblique, Théologoumènes arithématiques, éd. De Falco, 82, 10.

[5] Proclus, Commentaire sur la République de Platon, II, p. 24, 25

Les pavages de l’unité

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Décomposer et recomposer l’unité (le nombre un), c’est faire appel à des raisonnements aussi bien mathématiques que philosophiques. Venez regarder la course d’Achille et de la tortue puis disséquez l’œil d’Horus pour vous montrer que l’unité fait la force !

Mais que peuvent bien faire Horus et Anubis en compagnie d’Achille et de la tortue, le tout sur un tableau de Mondrian ? Le lien est évident : les mathématiques ! Plus précisément, dans ce quatrième épisode, on va s’amuser à diviser l’unité, c’est-à-dire le chiffre 1, et à la reconstituer.

Pour la diviser, on va faire appel à l’un des plus célèbres paradoxes de Zénon d’Élée : celui d’Achille qui ne parvient pas à rattraper la tortue. On expliquera mathématiquement ce paradoxe et on le reliera à une histoire de la mythologie égyptienne : celle de l’œil d’Horus. Dans ce dernier cas, on tentera plutôt de reconstituer l’unité. Dans les deux cas, on sera amené à travailler sur les puissances de ½.

Mais pourquoi un tableau de Mondrian ? Pour le savoir, regardez la vidéo ci-contre !

Zénon ! Cruel Zénon ! Zénon d’Élée !

M’as-tu percé de cette flèche ailée

Qui vibre, vole, et qui ne vole pas !

Le son m’enfante et la flèche me tue !

Ah ! le soleil… Quelle ombre de tortue

Pour l’âme, Achille immobile à grands pas !

Voilà comment le subtil Paul Valéry reliait deux des grands paradoxes de Zénon d’Élée. Ce philosophe est d’une importance primordiale puisqu’Aristote lui attribue l’invention de la dialectique, c’est-à-dire, au sens éléate du terme, non seulement savoir manier la contradiction, mais être capable de tenir en même temps deux discours parfaitement contradictoires.

C’est pourquoi Zénon a reçu de Timon le surnom d’Amphotéroglosse (à la double langue). De la dialectique au dialogue, il n’y a qu’un pas. Écrire des dialogues, c’est d’abord se mettre en scène soi-même face à un interlocuteur dont on invente le propos contraire. Sans doute, en plus de la dialectique, Zénon allait-il livrer en héritage à Platon le modèle du dialogue.[1]

Quant au concept d’unité, il y a justement deux manières assez contradictoires de l’envisager. L’unité est-elle basée sur ses parties ou au contraire l’unité est-elle un tout indivisible, sorte d’atome primitif d’où les nombres se génèrent ? Comme l’explique Alain Badiou, les Grecs ont opté pour cette deuxième voie :

Les penseurs grecs du nombre l’ont rapporté à l’Un, lequel, comme on le voit encore dans les Éléments d’Euclide, n’est pas considéré par eux comme un nombre. Ce qui dérive de l’être supra-numérique de l’Un est l’unité. Et ce nombre est une collection d’unités, une addition. Sous-jacente à cette conception, il y a la problématique qui va des Éléates aux néoplatoniciens, et qui est celle de la procession du Multiple à partir de l’Un. Le nombre est le schème de cette procession. [2]

À l’inverse, la mythologie égyptienne fait de l’unité la somme de ses parties, comme le montre l’histoire de l’œil d’Horus. Précisons néanmoins qu’il ne s’agit là que d’une interprétation de l’Oudjat, rien n’assurant strictement que cette symbolique soit tout à fait pertinente. Quoi qu’il en soit, elle permet de se représenter d’une autre manière le paradoxe d’Achille et la tortue.

[1] Cf. Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques, Gallimard, Folio, 1991, p. xxxvi.

[2] Alain Badiou, Le Nombre et les nombres, Seuil, Paris, 1990, p. 17.

 

Le cinquième postulat

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

D’Euclide à Einstein en passant par Riemann et Lobatchevsky, découvrez comment créer des géométries bizarres qui pourraient bien permettre de se téléporter et de remonter le temps !

Le cinquième postulat d’Euclide, un énoncé qui hanta les mathématiciens durant des siècles. Si vous avez regardé la vidéo, vous savez désormais qu’il fut même contredit au dix-neuvième siècle de deux manières qui ont permis de construire des géométries non euclidiennes.

La formulation simple de ce postulat (« Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée ») est en réalité due à Proclus dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments d’Euclide. Grand commentateur, Proclus fit partie de l’école néoplatonicienne d’Athènes au cinquième siècle de notre ère. Ce Byzantin de naissance s’opposa au christianisme, ce qui le conduit à l’exil, écrivit des Eléments de théologie, où il procède selon la méthode euclidienne (more geometrico eût dit Spinoza). On le connaît notamment aujourd’hui pour ses commentaires sur l’œuvre de Platon.

Proclus nous expose en quelques mots la puissance des Eléments d’Euclide : « Dans un pareil traité, il faut : éviter tout superflu, c’est un embarras pour l’étudiant ; réunir tout ce qui se tient ensemble et embrasse le sujet, chose essentielle pour la Science ; viser principalement et en même temps à la clarté et à la concision, car leurs contraires troublent l’intelligence ; chercher à donner aux théorèmes la forme la plus générale, car le détail de l’enseignement en cas particuliers ne fait que rendre la connaissance plus difficile à acquérir. A tous ces points de vue, on trouvera que le traité élémentaire d’Euclide l’emporte sur tout autre ; si l’on en considère l’utilité, il aboutit à la théorie des figures primordiales ; la clarté et l’enchaînement régulier sont assurés par la marche du plus simple au plus composé et par le fondement de la théorie sur des notions communes, la généralité des démonstrations par le choix du point de départ pour les questions à traiter, dans les théorèmes qui donnent les principes »[1].

Le fait de contredire un énoncé équivalent au cinquième postulat d’Euclide plutôt que de s’attaquer directement à l’énoncé originel permet de travailler sur une question plus intuitive : on se donne un point extérieur à une droite et on cherche à tracer une parallèle à cette droite passant par ce point. C’est plus simple que de travailler sur l’énoncé d’Euclide : « Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté ».

En mathématiques, il n’est pas rare de procéder ainsi et cela peut même aller plus loin. On peut par exemple, au lieu de travailler sur des droites, travailler sur les points qui s’en déduisent. C’est ce que l’on appelle la dualité. Et cela pourrait, pourquoi pas, faire l’objet d’une vidéo…

[1] Traduit par Paul Tannery, in La géométrie grecque, Gauthier-Villars, 1887, p. 143.

La gamme pythagoricienne

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

On a tous fait sonner un instrument de musique, ne serait-ce que sa propre voix ; pourtant, sait-on comment l’harmonie se produit ? En route pour un voyage dans l’univers des sons pour construire une gamme à la manière de Pythagore et découvrir les secrets de la gamme tempérée !

Quand on songe aux nombres dans l’Antiquité, on pense assez naturellement à Pythagore. Et qui dit Pythagore dit rapidement harmonie des sphères, voire harmonie tout court. Vous l’avez sans doute compris : ce deuxième épisode est consacré à la construction mathématique de la gamme pythagoricienne.

Si vous voulez voir comment construire de la musique avec des mathématiques, vous pouvez consulter un article sur la musique dodécaphonique en cliquant ici. Mais pour comprendre comment construire la gamme, rien ne sert de connaître des propriétés arithmétiques des nombres premiers : il suffit de savoir faire des multiplications.

Si vous avez regardé la vidéo, vous savez pourquoi figure un loup hurlant sur l’affiche de cet épisode. C’est en rapport avec la fameuse « quinte du loup » qui pose problème dans la gamme pythagoricienne. Vous aurez noté que toute la construction de la gamme est basée sur le rapport 3/2 (rapport qui correspond à la quinte), et cela n’a rien d’étonnant car pour Pythagore « les principes sont d’une part les nombres et leurs rapports (qu’il appelle aussi harmonies) et, d’autre part, les éléments composés des deux, qu’il appelle géométriques »[1].

L’un de ses disciples, Philolaos, ira même plus loin : « il pense que tout est produit par la nécessité et l’harmonie »[2]. L’harmonie est en effet une notion centrale pour les pythagoriciens qui n’hésitèrent pas à parler d’une « harmonie des sphères » pour caractériser les sons émis par les planètes. Pure fantaisie direz-vous ? Et pourtant : la NASA a récemment enregistré les sons de l’univers, et en particulier ceux aux abords des planètes.

Mais les pythagoriciens vont même plus loin en voyant l’harmonie également dans notre être. En effet, « pour Pythagore et Philolaos, l’âme est l’harmonie »[3]. Pour autant, l’histoire ne dit pas si l’harmonie de l’âme est basée sur la gamme pythagoricienne ou la gamme tempérée…

[1] Aétius, Opinions, I, iii, 8.

[2] Diogène Laërce, Vies, VIII, 85.

[3] Macrobe, Commentaire sur le Songe de Scipion, I, xiv, 19.

Le soleil se lèvera-t-il demain ?

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Le soleil s’est levé un bon million de fois de suite, mais cela nous assure-t-il qu’il se lèvera encore demain ? Entre démonstration logique et conjecture arithmétique, qui aura le dernier mot ? Antoine Houlou-Garcia vous fait voyager entre philosophie et mathématiques à partir d’Héraclite, Hume, Euler, Russell et même Queneau !

Le soleil se lèvera-t-il demain ? Mentionnons ici que le célèbre aphorisme d’Héraclite « Le soleil est nouveau tous les jours » nous a été rapporté par Aristote, et voici précisément ce que le Stagirite nous rapporte : « Le Soleil, non seulement, comme le déclare Héraclite, est nouveau chaque jour, mais sans cesse nouveau continument »[1].

De même, la célèbre citation « On ne se baigna jamais deux fois dans le même fleuve » peut rencontrer une forme légèrement différente[2] : « Dans les mêmes fleuves / Nous entrons et nous n’entrons pas / Nous sommes et nous ne sommes pas »[3].

Si vous avez regardé la vidéo (si ce n’est pas le cas, vous pouvez cliquer ici) vous savez désormais que savoir si le soleil se lèvera ou non est un débat qui n’appelle pas de réponse si l’on est parfaitement logique, comme l’explique Russell, résolvant ainsi le problème de l’induction tel que posé par Hume : est-ce que, sous prétexte qu’un événement s’est produit un grande nombre de fois, on peut rationnellement penser qu’il se produira à nouveau ? En d’autres termes : la répétition est-elle un argument rationnel ?

Mais bien avant lui, Thalès déjà, ne se serait sans doute pas risqué à conclure quoi que ce soit sur cette question ; en effet « il ne composa que deux ouvrages : Du solstice et De l’équinoxe, car il considérait que les autres phénomènes étaient hors de compréhension »[4].

Et pourtant, ce n’était pas faute de lever les yeux au ciel : « On raconte encore qu’une vieille[5] le conduisit un jour dehors pour étudier les astres, il tomba alors dans un trou qu’on avait creusé ; ce que voyant la vieille, au lieu de le plaindre, le railla : « Eh oui ! Thalès ! Tu n’arrives pas à voir ce qui est à tes pieds et tu crois pouvoir connaître ce qui se passe au ciel ? » »[6].

[1] Aristote, Météorologiques, II, ii, 355 a 13. Toutes les citations présentées ici sont issues de Jean-Paul Dumont, Les Ecoles présocratiques, Folio essais, Gallimard, 1991.

[2] Les fragments que nous avons d’Héraclite étant tous en vers, nous transcrivons ici les passages à la ligne par des barres.

[3] cité par Héraclite le Grammairien, Allégories d’Homère, 24.

[4] Diogène Laërce, Vies, I, 23.

[5] Pour Platon (Théétète, 174 a), il s’agissait d’une « petite servante thrace, toute mignonne et pleine de bonne humeur ».

[6] Diogène Laërce, Vies, I, 34.