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L’arbêlos

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

L’arbêlos est un outil bien étrange qui a inspiré aussi bien Archimède que Pappus d’Alexandrie. Voici trois résultats concernant cette forme fascinante : moyenne géométrique, surface et fractales sont au programme !

Le Livre des lemmes, qui ne nous est parvenu qu’en latin et qui compile quelques résultats sans doute trouvés par Archimède, s’intéresse à une forme particulière : l’arbêlos. Ce terme désigne à l’origine le couteau du cordonnier dont la lame ressemble à l’aire qui intéresse le génie de Syracuse. Voici la démonstration d’Archimède telle qu’évoquée dans la vidéo ci-dessus. 

Soit ABC un demi-cercle ; construisons sur le diamètre AC deux demi-cercles (sc. tangents entre eux), l’un (sc. sur) AD, l’autre (sc. sur) DC, et élevons la perpendiculaire DB (sc. à CA) ; la figure ainsi déterminée, appelée arbêlos par Archimède (c’est-à-dire l’aire comprise entre l’arc du grand demi-cercle et les circonférences des deux petits demi-cercles) est équivalente au cercle ayant pour diamètre la perpendiculaire DB.  

 

Démonstration. Puisque DB est la moyenne proportionnelle[1] entre DA et DC, le rectangle de côtés AD et DC sera équivalent au carré sur DB. Ajoutons de part et d’autre le rectangle de côtés AD et DC et les deux carrés AD sur DC ; le double du rectangle de côtés AD et DC, augmenté des deux carrés sur AD et sur DC, c’est-à-dire le carré sur AC, sera alors équivalent au double du carré sur DB, augmenté des deux carrés sur AD et sur DC. Or le rapport des cercles est égal au rapport des carrés (sc. sur leurs diamètres) ; il s’ensuit que le cercle de diamètre AC est équivalent à la somme du double du cercle de diamètre DB et des deux cercles de diamètres AD et, DC, et que le demi-cercle de diamètre AC est équivalent à la somme du cercle de diamètre DB et des deux demi-cercles de diamètres AD et DC. Retranchons de part et d’autre les deux demi-cercles de diamètres AD et DC. La figure qui reste d’un côté, à savoir l’aire comprise entre les demi-cercles sur AC, AD et DC (et c’est là la figure appelée arbêlos par Archimède), est alors équivalente (sc. à la figure qui reste de l’autre côté, à savoir) au cercle de diamètre DB, et c’est ce que nous avons voulu démontrer.

Le livre des lemmes, 4


[1] C’est-à-dire la moyenne géométrique. En effet, le théorème de Pythagore dans les triangles BDC et BDA, puis dans le triangle ABC (rectangle car inscrit) donne , ce qui est la définition de la moyenne géométrique et signifie géométriquement que le carré sur BD est égal au rectangle sur DC et DA.

Archimède : Pour l’éternité

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

La plus grande fierté d’Archimède est d’avoir pu inscrire la sphère dans le cylindre au point qu’il demanda à ce que son tombeau en fût orné. Cicéron nous le raconte et Plutarque nous rappelle tout le génie du mathématicien.

Voici le récit complet que fait Cicéron de sa redécouverte du tombeau d’Archimède, comme cela a été abordé dans l’épisode n°21 d’Arithm’Antique :

Du reste, à l’époque où j’étais questeur, c’est moi qui ai découvert son tombeau, dont les Syracusains ignoraient et même niaient l’existence. Un fouillis de ronces et de buissons l’entourait et le masquait de toutes parts. Il faut dire que je connaissais certains petits sénaires, lesquels, d’après une tradition, auraient été gravés sur le monument : il y était dit clairement que, au sommet du tombeau, on avait placé une sphère avec un cylindre. Un jour donc que je fouillais du regard tout le terrain situé aux abords de la porte d’Agrigente, car il y a là une multitude de tombeaux, voilà que mes yeux tombent sur une petite colonne qui émergeait à peine des buissons : elle était surmontée d’une sphère et d’un cylindre. Tout de suite je dis aux Syracusains c’étaient les notables qui m’accompagnaient que ce devait être justement ce que je cherchais. On envoie là nombre de gens armés de faux pour nettoyer et dégager l’emplacement ; puis, quand on eut frayé un passage, nous nous dirigeâmes vers la face antérieure du piédestal. L’inscription y était reconnaissable, bien que le temps eût mangé l’extrémité des vers dont il ne subsistait guère que la moitié. Ainsi la cité de la Grèce la plus célèbre et même à un moment la plus savante aurait ignoré le monument du plus génial de ses fils, si un enfant d’Arpinum ne le lui avait fait connaître.

Tusculanes, V, 23

Archimède – La mesure du cercle

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Pour mettre en pratique l’axiome de continuité et la méthode d’exhaustion, voici la rapide démonstration archimédienne d’équivalence entre un cercle et un triangle qui sert de base à l’approximation et l’encadrement de Pi.

Archimède utilise la méthode d’exhaustion d’Eudoxe – et la complète pour en faire une arme encore plus puissante – qui lui permet d’approximer un cercle par des polygones. Voici comment, grâce à sa méthode, il parvient à montrer l’équivalence d’un cercle et d’un triangle rectangle. 

Tout cercle est équivalent[1] à un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base (c’est-à-dire l’autre côté de l’angle droit) égale au périmètre du cercle.

Que le cercle ABΓΔ soit au triangle E comme l’indique l’hypothèse[2] ; je dis qu’il lui est équivalent.

Que le cercle soit en effet, si possible, plus grand[3]. Inscrivons-y le carré AΓ et divisons en deux parties égales les arcs (sc. admettant comme cordes les côtés du carré) ; que les segments de cercle aient à la fin (sc. si on répète les opérations de division en deux parties égales) une somme inférieure à la différence entre l’aire du cercle et celle du triangle[4]. La figure rectiligne sera donc encore plus grande que le triangle. Prenons le centre N et abaissons la perpendiculaire NΞ. NΞ sera donc inférieur au (sc. plus petit) côté du triangle[5]. Mais le périmètre de la figure rectiligne est à son tour plus petit que le côté restant[6], du moment qu’il est plus petit que le périmètre du cercle. La figure rectiligne est par conséquent plus petite que le triangle E, ce qui est absurde.

Archimède approxime un cercle par des polygones

Il va ensuite raisonner de la même manière avec un polygone inscrit et conclura que l’aire ne pouvant être ni plus petite ni plus grande, elle est identique.

La beauté de ce résultat établi par Archimède réside dans sa méthode : utilisant l’axiome de continuité (cf. épisode 19), il établit les prémisses du calcul infinitésimal. Mais Archimède ne s’arrête pas là et nous verrons dans le prochain épisode le résultat dont il était le plus fier et qui permit à Cicéron de reconnaître son tombeau !

 

 

[1] En termes de surface, chose toujours sous-entendue dans la suite du texte.

[2] Le triangle E est donc rectangle, les deux côtés de l’angle droit ayant pour mesure le rayon et la circonférence du cercle.

[3] Archimède procède par l’absurde en supposant dans un premier temps que la surface du cercle est plus grande que celle du triangle ; il étudiera ensuite l’hypothèse contraire.

[4] On construit une approximation du cercle grâce à des polygones inscrits, dont le nombre de côtés augmente pour assurer une précision croissante jusqu’à obtenir un écart de surface entre le polygone et le cercle qui soit plus petit que l’écart entre le cercle et le triangle. Cela est rendu possible grâce au cinquième postulat énoncé dans De la sphère et du cylindre.

[5] On se réfère ici au côté du triangle égal au rayon du cercle.

[6] Il s’agit du côté du triangle égal au périmètre du cercle.