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Archimède – La mesure du cercle

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Pour mettre en pratique l’axiome de continuité et la méthode d’exhaustion, voici la rapide démonstration archimédienne d’équivalence entre un cercle et un triangle qui sert de base à l’approximation et l’encadrement de Pi.

Archimède utilise la méthode d’exhaustion d’Eudoxe – et la complète pour en faire une arme encore plus puissante – qui lui permet d’approximer un cercle par des polygones. Voici comment, grâce à sa méthode, il parvient à montrer l’équivalence d’un cercle et d’un triangle rectangle. 

Tout cercle est équivalent[1] à un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base (c’est-à-dire l’autre côté de l’angle droit) égale au périmètre du cercle.

Que le cercle ABΓΔ soit au triangle E comme l’indique l’hypothèse[2] ; je dis qu’il lui est équivalent.

Que le cercle soit en effet, si possible, plus grand[3]. Inscrivons-y le carré AΓ et divisons en deux parties égales les arcs (sc. admettant comme cordes les côtés du carré) ; que les segments de cercle aient à la fin (sc. si on répète les opérations de division en deux parties égales) une somme inférieure à la différence entre l’aire du cercle et celle du triangle[4]. La figure rectiligne sera donc encore plus grande que le triangle. Prenons le centre N et abaissons la perpendiculaire NΞ. NΞ sera donc inférieur au (sc. plus petit) côté du triangle[5]. Mais le périmètre de la figure rectiligne est à son tour plus petit que le côté restant[6], du moment qu’il est plus petit que le périmètre du cercle. La figure rectiligne est par conséquent plus petite que le triangle E, ce qui est absurde.

Archimède approxime un cercle par des polygones

Il va ensuite raisonner de la même manière avec un polygone inscrit et conclura que l’aire ne pouvant être ni plus petite ni plus grande, elle est identique.

La beauté de ce résultat établi par Archimède réside dans sa méthode : utilisant l’axiome de continuité (cf. épisode 19), il établit les prémisses du calcul infinitésimal. Mais Archimède ne s’arrête pas là et nous verrons dans le prochain épisode le résultat dont il était le plus fier et qui permit à Cicéron de reconnaître son tombeau !

 

 

[1] En termes de surface, chose toujours sous-entendue dans la suite du texte.

[2] Le triangle E est donc rectangle, les deux côtés de l’angle droit ayant pour mesure le rayon et la circonférence du cercle.

[3] Archimède procède par l’absurde en supposant dans un premier temps que la surface du cercle est plus grande que celle du triangle ; il étudiera ensuite l’hypothèse contraire.

[4] On construit une approximation du cercle grâce à des polygones inscrits, dont le nombre de côtés augmente pour assurer une précision croissante jusqu’à obtenir un écart de surface entre le polygone et le cercle qui soit plus petit que l’écart entre le cercle et le triangle. Cela est rendu possible grâce au cinquième postulat énoncé dans De la sphère et du cylindre.

[5] On se réfère ici au côté du triangle égal au rayon du cercle.

[6] Il s’agit du côté du triangle égal au périmètre du cercle.

Archimède – L’axiome de continuité

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

D’Archimède à Hilbert en passant par Euclide et Eudoxe, voici l’axiome qui donna à la géométrie sa continuité.

L’axiome d’Archimède est, comme on l’a vu dans l’épisode n°19 d’Arithm’Antique, un énoncé qui se trouve dans les Eléments d’Euclide :

« Des grandeurs sont dites en raison l’une avec l’autre si, multipliées, elles sont capables de se dépasser l’une l’autre. » (Eléments, Livre V, Définition 4.)

A partir de cette simple définition, Archimède va en effet établir un postulat, parmi ceux placés en tête de son ouvrage De la sphère et du cylindre ; en voici l’énoncé :

« parmi les lignes inégales, les surfaces inégales, les corps solides inégaux, le plus grand dépasse le plus petit d’une grandeur telle que, ajoutée à elle-même (sc. un nombre suffisant de fois), elle peut dépasser toute grandeur donnée ayant un rapport avec les grandeurs comparées entre elles. »

C’est sur cet axiome que sera fondée réellement la notion de continuité en géométrie, au point que Hilbert, dans ses Principes de la géométrie parus en 1899, ne fait que formaliser de façon plus moderne l’énoncé d’Archimède, à qui il ne manque pas de rendre hommage.

Cet axiome est la pierre fondatrice de la méthode d’exhaustion d’Eudoxe qu’Archimède améliorera pour jeter les bases du calcul différentiel, tout cela 2000 ans avant Leibniz !

 

Archimède : Dans le port de Syracuse

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Voici une nouvelle aventure d’Archimède, cette fois-ci dans le port de Syracuse où il déplace à lui seul un énorme navire pour donner tort à la théorie aristotélicienne de la dynamique.

Aristote s’est longuement penché sur la question du mouvement et de la capacité à déplacer un objet. Il considérait que si la force appliquée à l’objet était inférieure à un certain seuil, alors l’objet ne pouvait être mu.

Cette proposition a été en réfutée par une expérience éblouissante d’Archimède dans le port de Syracuse qui a ainsi pu vérifier empiriquement le théorème de mécanique rationnelle. Pour que l’expérience close définitivement le débat, il prend le même exemple qu’Aristote utilisait dans son élaboration théorique, à la manière de ce que faisait régulièrement le même Aristote pour contrer les exemples de Platon.

Voici l’intégralité du récit qu’en fait Plutarque et dont quelques éléments ont été racontés dans la vidéo ci-dessus :

« Pour en revenir à Archimède, il avait écrit au roi Hiéron, son parent et son ami, qu’avec une force donnée il est possible de remuer un poids donné, et l’on dit que, tout fier de la vigueur de sa démonstration, il déclara que, s’il avait une autre terre à sa disposition, il pourrait soulever celle-ci, une fois passé sur l’autre. Hiéron, émerveillé, le pria de mettre sa théorie en application et de lui montrer une grande masse mise en mouvement par une petite force. Alors il fit tirer à terre, au prix de grands efforts d’une nombreuse main-d’œuvre, un navire de transport à trois mâts de la marine royale ; il y fit monter un grand nombre d’hommes, en plus de la cargaison habituelle, et, assis à distance, sans peine, d’un geste tranquille de la main, il actionna une machine à plusieurs poulies, de façon à ramener vers lui le navire en le faisant lisser sans à-coups, comme s’il courait sur la mer. Le roi, stupéfait et comprenant la puissance de la science, engagea Archimède à construire en vue de toute espèce de siège des machines, soit pour la défense, soit pour l’attaque. Hiéron ne s’en servit pas lui-même, puisqu’il passa la plus grande partie de sa vie sans guerre et dans les fêtes. Mais ces machines se trouvèrent prêtes pour les Syracusains quand ils en eurent besoin, au moment dont je parle, et avec ces machines l’inventeur lui-même. »

Plutarque, Vie de Marcellus, 14