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L’arbêlos

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

L’arbêlos est un outil bien étrange qui a inspiré aussi bien Archimède que Pappus d’Alexandrie. Voici trois résultats concernant cette forme fascinante : moyenne géométrique, surface et fractales sont au programme !

Le Livre des lemmes, qui ne nous est parvenu qu’en latin et qui compile quelques résultats sans doute trouvés par Archimède, s’intéresse à une forme particulière : l’arbêlos. Ce terme désigne à l’origine le couteau du cordonnier dont la lame ressemble à l’aire qui intéresse le génie de Syracuse. Voici la démonstration d’Archimède telle qu’évoquée dans la vidéo ci-dessus. 

Soit ABC un demi-cercle ; construisons sur le diamètre AC deux demi-cercles (sc. tangents entre eux), l’un (sc. sur) AD, l’autre (sc. sur) DC, et élevons la perpendiculaire DB (sc. à CA) ; la figure ainsi déterminée, appelée arbêlos par Archimède (c’est-à-dire l’aire comprise entre l’arc du grand demi-cercle et les circonférences des deux petits demi-cercles) est équivalente au cercle ayant pour diamètre la perpendiculaire DB.  

 

Démonstration. Puisque DB est la moyenne proportionnelle[1] entre DA et DC, le rectangle de côtés AD et DC sera équivalent au carré sur DB. Ajoutons de part et d’autre le rectangle de côtés AD et DC et les deux carrés AD sur DC ; le double du rectangle de côtés AD et DC, augmenté des deux carrés sur AD et sur DC, c’est-à-dire le carré sur AC, sera alors équivalent au double du carré sur DB, augmenté des deux carrés sur AD et sur DC. Or le rapport des cercles est égal au rapport des carrés (sc. sur leurs diamètres) ; il s’ensuit que le cercle de diamètre AC est équivalent à la somme du double du cercle de diamètre DB et des deux cercles de diamètres AD et, DC, et que le demi-cercle de diamètre AC est équivalent à la somme du cercle de diamètre DB et des deux demi-cercles de diamètres AD et DC. Retranchons de part et d’autre les deux demi-cercles de diamètres AD et DC. La figure qui reste d’un côté, à savoir l’aire comprise entre les demi-cercles sur AC, AD et DC (et c’est là la figure appelée arbêlos par Archimède), est alors équivalente (sc. à la figure qui reste de l’autre côté, à savoir) au cercle de diamètre DB, et c’est ce que nous avons voulu démontrer.

Le livre des lemmes, 4


[1] C’est-à-dire la moyenne géométrique. En effet, le théorème de Pythagore dans les triangles BDC et BDA, puis dans le triangle ABC (rectangle car inscrit) donne , ce qui est la définition de la moyenne géométrique et signifie géométriquement que le carré sur BD est égal au rectangle sur DC et DA.

Archimède – La mesure du cercle

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Pour mettre en pratique l’axiome de continuité et la méthode d’exhaustion, voici la rapide démonstration archimédienne d’équivalence entre un cercle et un triangle qui sert de base à l’approximation et l’encadrement de Pi.

Archimède utilise la méthode d’exhaustion d’Eudoxe – et la complète pour en faire une arme encore plus puissante – qui lui permet d’approximer un cercle par des polygones. Voici comment, grâce à sa méthode, il parvient à montrer l’équivalence d’un cercle et d’un triangle rectangle. 

Tout cercle est équivalent[1] à un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base (c’est-à-dire l’autre côté de l’angle droit) égale au périmètre du cercle.

Que le cercle ABΓΔ soit au triangle E comme l’indique l’hypothèse[2] ; je dis qu’il lui est équivalent.

Que le cercle soit en effet, si possible, plus grand[3]. Inscrivons-y le carré AΓ et divisons en deux parties égales les arcs (sc. admettant comme cordes les côtés du carré) ; que les segments de cercle aient à la fin (sc. si on répète les opérations de division en deux parties égales) une somme inférieure à la différence entre l’aire du cercle et celle du triangle[4]. La figure rectiligne sera donc encore plus grande que le triangle. Prenons le centre N et abaissons la perpendiculaire NΞ. NΞ sera donc inférieur au (sc. plus petit) côté du triangle[5]. Mais le périmètre de la figure rectiligne est à son tour plus petit que le côté restant[6], du moment qu’il est plus petit que le périmètre du cercle. La figure rectiligne est par conséquent plus petite que le triangle E, ce qui est absurde.

Archimède approxime un cercle par des polygones

Il va ensuite raisonner de la même manière avec un polygone inscrit et conclura que l’aire ne pouvant être ni plus petite ni plus grande, elle est identique.

La beauté de ce résultat établi par Archimède réside dans sa méthode : utilisant l’axiome de continuité (cf. épisode 19), il établit les prémisses du calcul infinitésimal. Mais Archimède ne s’arrête pas là et nous verrons dans le prochain épisode le résultat dont il était le plus fier et qui permit à Cicéron de reconnaître son tombeau !

 

 

[1] En termes de surface, chose toujours sous-entendue dans la suite du texte.

[2] Le triangle E est donc rectangle, les deux côtés de l’angle droit ayant pour mesure le rayon et la circonférence du cercle.

[3] Archimède procède par l’absurde en supposant dans un premier temps que la surface du cercle est plus grande que celle du triangle ; il étudiera ensuite l’hypothèse contraire.

[4] On construit une approximation du cercle grâce à des polygones inscrits, dont le nombre de côtés augmente pour assurer une précision croissante jusqu’à obtenir un écart de surface entre le polygone et le cercle qui soit plus petit que l’écart entre le cercle et le triangle. Cela est rendu possible grâce au cinquième postulat énoncé dans De la sphère et du cylindre.

[5] On se réfère ici au côté du triangle égal au rayon du cercle.

[6] Il s’agit du côté du triangle égal au périmètre du cercle.

Léonard et la quadrature

De la quadrature du cercle à l’Homme de Vitruve dessiné par Léonard de Vinci, on vous raconte comment mettre des carrés dans des cercles.

Voici l’ensemble du passage de Vitruve cité partiellement dans la vidéo :

L’ordonnance d’un édifice consiste dans la proportion, chose à laquelle l’architecte doit apporter le plus grand soin. Or, la proportion naît du rapport de grandeur que les Grecs appellent ἀναλογία. Ce rapport est la convenance de mesure qui existe entre une certaine partie des membres d’un ouvrage et le tout ; c’est d’après cette partie qu’on règle les proportions. Car il n’est point d’édifice qui, sans proportion ni rapport, puisse être bien ordonné ; il doit avoir la plus grande analogie avec un corps humain bien formé.

Or, voici les proportions que lui a données la nature : le visage, depuis le menton jusqu’au haut du front, à la racine des cheveux, est la dixième partie de la hauteur de l’homme ; la paume de la main, depuis l’articulation du poignet jusqu’au bout du doigt du milieu, a la même longueur ; la tête, depuis le menton jusqu’au sommet, forme la huitième partie; même mesure par derrière; depuis le haut de la poitrine jusqu’à la racine des cheveux, il y a une sixième partie, et jusqu’au sommet de la tête une quatrième. La longueur du visage se divise en trois parties la première s’étend depuis le bas du menton jusqu’au-dessous du nez ; la seconde, depuis le dessous du nez jusqu’au haut des sourcils, et la troisième, depuis cette ligne jusqu’à la racine des cheveux, qui termine le front. Le pied a la sixième partie de la hauteur du corps ; le coude, la quatrième, de même que la poitrine. Les autres membres ont aussi leurs mesures et leurs proportions ; c’est en les observant que les plus célèbres peintres et sculpteurs de l’antiquité ont acquis une réputation si grande et si durable.

Il en est de même des parties d’un édifice sacré : toutes doivent avoir dans leur étendue particulière des proportions qui soient en harmonie avec la grandeur générale du temple. Le centre du corps est naturellement au nombril. Qu’un homme, en effet, soit couché sur le dos, les mains et les pieds étendus, si l’une des branches d’un compas est appuyée sur le nombril, l’autre, en décrivant une ligne circulaire, touchera les doigts des pieds et des mains. Et de même qu’un cercle peut être figuré avec le corps ainsi étendu, de même on peut y trouver un carré : car si on prend la mesure qui se trouve entre l’extrémité des pieds et le sommet de la tête, et qu’on la rapporte à celle des bras ouverts, on verra que la largeur répond à la hauteur, comme dans un carré fait à l’équerre.

Quant à la quadrature du cercle, si elle est insoluble, elle a néanmoins donné l’idée de s’en moquer à Aristophane dans Les Oiseaux où Métôn, le géomètre ridicule et incompréhensible, en souffle quelques mots :

J’applique une règle droite, de manière à ce que tu aies un cercle tétragone ; au centre est l’Agora, les rues qui y conduisent sont droites et convergentes au centre, ainsi que d’un astre, qui est rond de sa nature, partent des rayons droits qui brillent dans tous les sens.