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Les nombres parfaits

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Il existe des nombres de peu de vertu et des nombres parfaits. Pour déterminer la qualité d’un nombre, tout repose sur la somme de ses diviseurs. D’Euclide à Euler en passant par Boèce, Voici l’histoire des très rares nombres parfaits !

Comme on le voit dans la vidéo ci-dessus, les nombres ont une qualité intrinsèque qui tient à leur vertu : abondance, déficience et perfection sont ici des caractéristiques qui tiennent au rapport entre le tout et ses parties. La perfection est le juste équilibre du tout et des parties mais aussi le juste milieu entre abondance et déficience, suivant ainsi la morale classique. Euclide montre (proposition 36 du Livre IX) que si 2^p – 1 est premier, alors 2^(p-1) – 1 est parfait. Euler démontrera au dix-huitième siècle que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Voici comment Boèce décrit ces nombres : 

Ceux dont le nombre des parties va au-delà de ce qui est suffisant sont appelés abondants. Exemples : 12, 24. Car si l’on compare ces nombres à leurs parties, la somme de ces parties est plus grande que la totalité du corps. Le nombre 12 a une moitié, 6, un tiers, 4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, et le total de tout cela est en excès : il monte à 16, et il dépasse la valeur du corps tout entier du nombre. Quant à 24, il a une moitié, 12, un tiers, 8, un quart, 6, un sixième, 4, un huitième, 3, un douzième, 2, un vingt-quatrième, 1, qui, tous ensemble, valent 36 : là, il est clair que la somme des parties est plus grande et plus abondante que le corps lui-même.

C’est ce nombre, dont la somme des parties l’emporte sur la valeur du nombre tout entier, que l’on appelle abondant.

Quant au nombre déficient, c’est celui dont la somme des parties, effectuée de la même façon, est surpassée par la valeur du terme tout entier. […]

Entre ces deux espèces, comme entre deux excès opposés, la juste mesure du moyen terme est tenue par le nombre que l’on appelle parfait, imitateur de la vertu : il n’est pas soumis à l’étirement d’une progression surabondante, ni, inversement, resserré et contracté par la diminution, mais, occupant une place médiane, il est égal à ses propres parties : ni épaissi par l’abondance, ni rendu indigent par la privation. Exemples : 6, 28. Car le nombre 6 a une moitié, 3, un tiers, 2, et un sixième, 1 : si ces parties sont additionnées, on trouvera que la totalité du corps du nombre est égale à ses propres parties. Quant à 28, il a une moitié, 14, un septième, 4, mais aussi un quart, 7 ; il possède un quatorzième, 2, et l’on trouvera en lui un vingt-quatrième, 1 ; si ces parties sont additionnées, la totalité du corps sera égale à ses parties ; car les parties additionnées feront 28.

Il y a dans ces nombres aussi une grande similitude avec le vice et la vertu.

Institution arithmétique, I, 19-20

Le nombre imaginaire

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des Classiques

Voici la fabuleuse histoire des nombres complexes de Cardan à Gauss !

Dans la vidéo sur le nombre imaginaire, il n’est pas fait mention du fameux Rafael Bombelli qui énonça les règles de calcul du nombre imaginaire, un peu à la mode du « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » pour faire comprendre que moins par moins donne plus. Voici leur écriture originale et leur traduction en écriture moderne :

Più via più di meno, fa più di meno. (+ 1 ) × (+ i) = + i
Meno via più di meno, fa meno di meno. (-1 ) × (+ i) = – i
Più via meno di meno, fa meno di meno. (+ 1 ) × (- i) = – i
Meno via meno di meno, fa più di meno. (-1 ) × (- i) = + i
Più di meno via più di meno, fa meno. (+ i ) × (+ i) = – 1
Più di meno via men di meno, fa più. (+ i ) × (- i) = + 1
Meno di meno via più di meno, fa più. (- i ) × (+ i) = + 1
Meno di meno via men di meno, fa meno.

(- i ) × (- i) = – 1

 

Le soleil se lèvera-t-il demain ?

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Le soleil s’est levé un bon million de fois de suite, mais cela nous assure-t-il qu’il se lèvera encore demain ? Entre démonstration logique et conjecture arithmétique, qui aura le dernier mot ? Antoine Houlou-Garcia vous fait voyager entre philosophie et mathématiques à partir d’Héraclite, Hume, Euler, Russell et même Queneau !

Le soleil se lèvera-t-il demain ? Mentionnons ici que le célèbre aphorisme d’Héraclite « Le soleil est nouveau tous les jours » nous a été rapporté par Aristote, et voici précisément ce que le Stagirite nous rapporte : « Le Soleil, non seulement, comme le déclare Héraclite, est nouveau chaque jour, mais sans cesse nouveau continument »[1].

De même, la célèbre citation « On ne se baigna jamais deux fois dans le même fleuve » peut rencontrer une forme légèrement différente[2] : « Dans les mêmes fleuves / Nous entrons et nous n’entrons pas / Nous sommes et nous ne sommes pas »[3].

Si vous avez regardé la vidéo (si ce n’est pas le cas, vous pouvez cliquer ici) vous savez désormais que savoir si le soleil se lèvera ou non est un débat qui n’appelle pas de réponse si l’on est parfaitement logique, comme l’explique Russell, résolvant ainsi le problème de l’induction tel que posé par Hume : est-ce que, sous prétexte qu’un événement s’est produit un grande nombre de fois, on peut rationnellement penser qu’il se produira à nouveau ? En d’autres termes : la répétition est-elle un argument rationnel ?

Mais bien avant lui, Thalès déjà, ne se serait sans doute pas risqué à conclure quoi que ce soit sur cette question ; en effet « il ne composa que deux ouvrages : Du solstice et De l’équinoxe, car il considérait que les autres phénomènes étaient hors de compréhension »[4].

Et pourtant, ce n’était pas faute de lever les yeux au ciel : « On raconte encore qu’une vieille[5] le conduisit un jour dehors pour étudier les astres, il tomba alors dans un trou qu’on avait creusé ; ce que voyant la vieille, au lieu de le plaindre, le railla : « Eh oui ! Thalès ! Tu n’arrives pas à voir ce qui est à tes pieds et tu crois pouvoir connaître ce qui se passe au ciel ? » »[6].

[1] Aristote, Météorologiques, II, ii, 355 a 13. Toutes les citations présentées ici sont issues de Jean-Paul Dumont, Les Ecoles présocratiques, Folio essais, Gallimard, 1991.

[2] Les fragments que nous avons d’Héraclite étant tous en vers, nous transcrivons ici les passages à la ligne par des barres.

[3] cité par Héraclite le Grammairien, Allégories d’Homère, 24.

[4] Diogène Laërce, Vies, I, 23.

[5] Pour Platon (Théétète, 174 a), il s’agissait d’une « petite servante thrace, toute mignonne et pleine de bonne humeur ».

[6] Diogène Laërce, Vies, I, 34.