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L’arbêlos

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

L’arbêlos est un outil bien étrange qui a inspiré aussi bien Archimède que Pappus d’Alexandrie. Voici trois résultats concernant cette forme fascinante : moyenne géométrique, surface et fractales sont au programme !

Le Livre des lemmes, qui ne nous est parvenu qu’en latin et qui compile quelques résultats sans doute trouvés par Archimède, s’intéresse à une forme particulière : l’arbêlos. Ce terme désigne à l’origine le couteau du cordonnier dont la lame ressemble à l’aire qui intéresse le génie de Syracuse. Voici la démonstration d’Archimède telle qu’évoquée dans la vidéo ci-dessus. 

Soit ABC un demi-cercle ; construisons sur le diamètre AC deux demi-cercles (sc. tangents entre eux), l’un (sc. sur) AD, l’autre (sc. sur) DC, et élevons la perpendiculaire DB (sc. à CA) ; la figure ainsi déterminée, appelée arbêlos par Archimède (c’est-à-dire l’aire comprise entre l’arc du grand demi-cercle et les circonférences des deux petits demi-cercles) est équivalente au cercle ayant pour diamètre la perpendiculaire DB.  

 

Démonstration. Puisque DB est la moyenne proportionnelle[1] entre DA et DC, le rectangle de côtés AD et DC sera équivalent au carré sur DB. Ajoutons de part et d’autre le rectangle de côtés AD et DC et les deux carrés AD sur DC ; le double du rectangle de côtés AD et DC, augmenté des deux carrés sur AD et sur DC, c’est-à-dire le carré sur AC, sera alors équivalent au double du carré sur DB, augmenté des deux carrés sur AD et sur DC. Or le rapport des cercles est égal au rapport des carrés (sc. sur leurs diamètres) ; il s’ensuit que le cercle de diamètre AC est équivalent à la somme du double du cercle de diamètre DB et des deux cercles de diamètres AD et, DC, et que le demi-cercle de diamètre AC est équivalent à la somme du cercle de diamètre DB et des deux demi-cercles de diamètres AD et DC. Retranchons de part et d’autre les deux demi-cercles de diamètres AD et DC. La figure qui reste d’un côté, à savoir l’aire comprise entre les demi-cercles sur AC, AD et DC (et c’est là la figure appelée arbêlos par Archimède), est alors équivalente (sc. à la figure qui reste de l’autre côté, à savoir) au cercle de diamètre DB, et c’est ce que nous avons voulu démontrer.

Le livre des lemmes, 4


[1] C’est-à-dire la moyenne géométrique. En effet, le théorème de Pythagore dans les triangles BDC et BDA, puis dans le triangle ABC (rectangle car inscrit) donne , ce qui est la définition de la moyenne géométrique et signifie géométriquement que le carré sur BD est égal au rectangle sur DC et DA.

Le quiz mathématique

Vidéo et article parus initialement sur La vie des Classiques.

Un quiz spécial : pour fêter les 12 premiers épisodes d’Arithm’Antique, tentez de répondre aux 12 questions !

Voici toutes les questions de l’épisode spécial « Quiz mathématique » : 

Selon vous, Thalès était originaire de

1. Milet

2. Samos

3. Kiri

(réponse dans l’épisode 7)

A votre avis, le soleil se lèvera-t-il demain ?

1. Oui

2. Non

3. Peut-être

(réponse dans l’épisode 1)

Selon vous, une droite est :

1. un carré de côté infiniment petit

2. un cercle de rayon infiniment grand

3. une hyperboloïde transverse

(réponse dans l’épisode 10)

D’après vous, Euclide a écrit

1. Les Eléments

2. Les Fondamentaux

3. Les Problèmes géométriques

(réponse dans l’épisode 3)

Selon vous, la règle et le compas sont les outils de base des (attention, il n’y a pas de piège)

1. géomètres

2. francs-maçons

3. accordéonistes

(réponse dans l’épisode 11)

Selon vous, la tetraktys est (attention, il y a un piège)

1. Un concurrent de Kiloutou

2. Un nombre

3. Un triangle

(réponse dans l’épisode 5)

Selon vous, Hippias était (attention, il y a un piège)

1. un philosophe

2. un sophiste

3. un mathématicien

(réponse dans l’épisode 12)

La gamme pythagoricienne et la gamme tempérée sont

1. Complètement différentes

2. Plus ou moins ressemblantes

3. Strictement identiques

(réponse dans l’épisode 2)

Selon vous, le nombre d’or vaut

1. Environ 2,71828

2. Environ 1,61803

3. Environ 3,14159

(réponse dans l’épisode 6)

Quel film a utilisé une forme fractale dans son générique ?

1. Rocky 3 : L’Œil du tigre

2. Casino Royale

3. La Tour Montparnasse infernale

(réponse dans l’épisode 8)

Pour vous, la somme infinie ½ + ¼ + 1/8 + 1/16… vaut

1. L’infini

2. 1

3. π/2 + 3

(réponse dans l’épisode 4)

Selon vous, qui gagne à la fin ? (toute ressemblance avec Koh Lanta serait purement fortuite)

1. Les rouges

2. Les jaunes

3. Qui l’on veut

(réponse dans l’épisode 9)

Et vous pouvez retrouvez les solutions en deuxième partie de vidéo !