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Archimède – L’axiome de continuité

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

D’Archimède à Hilbert en passant par Euclide et Eudoxe, voici l’axiome qui donna à la géométrie sa continuité.

L’axiome d’Archimède est, comme on l’a vu dans l’épisode n°19 d’Arithm’Antique, un énoncé qui se trouve dans les Eléments d’Euclide :

« Des grandeurs sont dites en raison l’une avec l’autre si, multipliées, elles sont capables de se dépasser l’une l’autre. » (Eléments, Livre V, Définition 4.)

A partir de cette simple définition, Archimède va en effet établir un postulat, parmi ceux placés en tête de son ouvrage De la sphère et du cylindre ; en voici l’énoncé :

« parmi les lignes inégales, les surfaces inégales, les corps solides inégaux, le plus grand dépasse le plus petit d’une grandeur telle que, ajoutée à elle-même (sc. un nombre suffisant de fois), elle peut dépasser toute grandeur donnée ayant un rapport avec les grandeurs comparées entre elles. »

C’est sur cet axiome que sera fondée réellement la notion de continuité en géométrie, au point que Hilbert, dans ses Principes de la géométrie parus en 1899, ne fait que formaliser de façon plus moderne l’énoncé d’Archimède, à qui il ne manque pas de rendre hommage.

Cet axiome est la pierre fondatrice de la méthode d’exhaustion d’Eudoxe qu’Archimède améliorera pour jeter les bases du calcul différentiel, tout cela 2000 ans avant Leibniz !

 

Archimède : Dans le port de Syracuse

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Voici une nouvelle aventure d’Archimède, cette fois-ci dans le port de Syracuse où il déplace à lui seul un énorme navire pour donner tort à la théorie aristotélicienne de la dynamique.

Aristote s’est longuement penché sur la question du mouvement et de la capacité à déplacer un objet. Il considérait que si la force appliquée à l’objet était inférieure à un certain seuil, alors l’objet ne pouvait être mu.

Cette proposition a été en réfutée par une expérience éblouissante d’Archimède dans le port de Syracuse qui a ainsi pu vérifier empiriquement le théorème de mécanique rationnelle. Pour que l’expérience close définitivement le débat, il prend le même exemple qu’Aristote utilisait dans son élaboration théorique, à la manière de ce que faisait régulièrement le même Aristote pour contrer les exemples de Platon.

Voici l’intégralité du récit qu’en fait Plutarque et dont quelques éléments ont été racontés dans la vidéo ci-dessus :

« Pour en revenir à Archimède, il avait écrit au roi Hiéron, son parent et son ami, qu’avec une force donnée il est possible de remuer un poids donné, et l’on dit que, tout fier de la vigueur de sa démonstration, il déclara que, s’il avait une autre terre à sa disposition, il pourrait soulever celle-ci, une fois passé sur l’autre. Hiéron, émerveillé, le pria de mettre sa théorie en application et de lui montrer une grande masse mise en mouvement par une petite force. Alors il fit tirer à terre, au prix de grands efforts d’une nombreuse main-d’œuvre, un navire de transport à trois mâts de la marine royale ; il y fit monter un grand nombre d’hommes, en plus de la cargaison habituelle, et, assis à distance, sans peine, d’un geste tranquille de la main, il actionna une machine à plusieurs poulies, de façon à ramener vers lui le navire en le faisant lisser sans à-coups, comme s’il courait sur la mer. Le roi, stupéfait et comprenant la puissance de la science, engagea Archimède à construire en vue de toute espèce de siège des machines, soit pour la défense, soit pour l’attaque. Hiéron ne s’en servit pas lui-même, puisqu’il passa la plus grande partie de sa vie sans guerre et dans les fêtes. Mais ces machines se trouvèrent prêtes pour les Syracusains quand ils en eurent besoin, au moment dont je parle, et avec ces machines l’inventeur lui-même. »

Plutarque, Vie de Marcellus, 14

 

Archimède : Eurêka

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

On connaît le cri « Eurêka » prononcé par Archimède ; mais sait-on ce qu’il avait trouvé à ce moment-là ? Quel est le rapport en une couronne en or et les principes de l’hydrostatique ? 

Etre un scientifique, c’est être habité par des énigmes à chaque instant. C’est alors qu’il prenait un bain en s’interrogeant sur une enquête scientifique digne des plus grands romans policiers qu’Archimède trouva la solution de son problème et par là même la loi qui restera dans l’histoire sous le nom de « principe d’Archimède ». Pour préciser cette histoire abordée dans la vidéo, voici le récit complet qu’en fait Vitruve :

Quant à Archimède, il a certes fait bien d’admirables découvertes dans maints domaines, mais c’est encore celle que je vais exposer qui, parmi toutes les autres, témoigne, semble-t-il, d’une ingéniosité extrême. Hiéron de Syracuse, parvenu au pouvoir royal, avait décidé de placer dans un temple, en raison de ses succès, une couronne d’or promise par un vœu aux dieux immortels : il mit le prix de l’exécution en adjudication et il pesa à l’adjudicataire, au peson, l’or nécessaire. Celui-ci soumit en temps voulu son travail, exécuté à la main avec finesse, à l’approbation du roi et, à l’aide du peson, il fit la preuve, sembla-t-il, du poids de la couronne. 10. Quand Hiéron apprit par dénonciation qu’une certaine quantité d’or avait été ôtée et remplacée par l’équivalent en argent, incorporé à l’objet, votif, furieux d’avoir été berné, mais ne trouvant aucun moyen de mettre la fraude en évidence, il pria Archimède d’y consacrer pour lui ses réflexions. Et le hasard fit que, avec ce souci en tête, celui-ci alla au bain, et là, descendant dans la baignoire, il remarqua qu’il s’en écoulait une quantité d’eau égale au volume de son corps, quand il s’y installait. Cela lui révéla le moyen de résoudre son problème : sans tarder, il bondit plein de joie hors de la baignoire et, prenant tout nu le chemin de sa maison, il manifestait à voix haute, à tout venant, qu’il avait trouvé ce qu’il cherchait. Car dans sa course il ne cessait de crier, en grec : « J’ai trouvé, j’ai trouvé ! »[1]. 11. Alors, mis ainsi sur le chemin de sa découverte, il fabriqua, dit-on, deux lingots de poids égal – qui était aussi celui de la couronne – l’un d’or, l’autre d’argent. Cela fait, il remplit d’eau jusqu’au bord un grand vase, dans lequel il plongea le lingot d’argent. Il s’écoula une quantité d’eau égale au volume immergé dans le vase. Ainsi, une fois le lingot retiré, il y versa à nouveau la quantité d’eau manquante, en mesurant avec un setier, de manière que, comme tout à l’heure, le niveau affleurât le bord. Il trouva ainsi le poids d’argent déterminé correspondant à une quantité d’eau déterminée. 12. Cette expérience faite, il plongea alors de la même manière le lingot d’or dans le vase plein, et, après l’avoir retiré, il fit alors sa mesure suivant une méthode semblable : parlant de la quantité d’eau nécessaire, non pas égale mais plus faible, il trouva dans quelle proportion, à poids égal, le lingot d’or était moins volumineux que celui d’argent. Or ensuite, après avoir rempli le vase et plongé cette fois la couronne dans la même eau, il trouva qu’il s’était écoulé plus d’eau pour la couronne que pour le lingot d’or de poids égal, et ainsi, partant du fait qu’il manquait plus d’eau dans le cas de la couronne que dans celui du lingot, il mit en évidence par son raisonnement l’alliage d’argent dans l’or et la fraude patente de l’adjudicataire.

De l’architecture, IX, Praef., 9-12 (édition C.U.F.)

 

[1] εὕρηκα, εὕρηκα, en grec dans le texte latin de Vitruve.