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Archimède – La mesure du cercle

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Pour mettre en pratique l’axiome de continuité et la méthode d’exhaustion, voici la rapide démonstration archimédienne d’équivalence entre un cercle et un triangle qui sert de base à l’approximation et l’encadrement de Pi.

Archimède utilise la méthode d’exhaustion d’Eudoxe – et la complète pour en faire une arme encore plus puissante – qui lui permet d’approximer un cercle par des polygones. Voici comment, grâce à sa méthode, il parvient à montrer l’équivalence d’un cercle et d’un triangle rectangle. 

Tout cercle est équivalent[1] à un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base (c’est-à-dire l’autre côté de l’angle droit) égale au périmètre du cercle.

Que le cercle ABΓΔ soit au triangle E comme l’indique l’hypothèse[2] ; je dis qu’il lui est équivalent.

Que le cercle soit en effet, si possible, plus grand[3]. Inscrivons-y le carré AΓ et divisons en deux parties égales les arcs (sc. admettant comme cordes les côtés du carré) ; que les segments de cercle aient à la fin (sc. si on répète les opérations de division en deux parties égales) une somme inférieure à la différence entre l’aire du cercle et celle du triangle[4]. La figure rectiligne sera donc encore plus grande que le triangle. Prenons le centre N et abaissons la perpendiculaire NΞ. NΞ sera donc inférieur au (sc. plus petit) côté du triangle[5]. Mais le périmètre de la figure rectiligne est à son tour plus petit que le côté restant[6], du moment qu’il est plus petit que le périmètre du cercle. La figure rectiligne est par conséquent plus petite que le triangle E, ce qui est absurde.

Archimède approxime un cercle par des polygones

Il va ensuite raisonner de la même manière avec un polygone inscrit et conclura que l’aire ne pouvant être ni plus petite ni plus grande, elle est identique.

La beauté de ce résultat établi par Archimède réside dans sa méthode : utilisant l’axiome de continuité (cf. épisode 19), il établit les prémisses du calcul infinitésimal. Mais Archimède ne s’arrête pas là et nous verrons dans le prochain épisode le résultat dont il était le plus fier et qui permit à Cicéron de reconnaître son tombeau !

 

 

[1] En termes de surface, chose toujours sous-entendue dans la suite du texte.

[2] Le triangle E est donc rectangle, les deux côtés de l’angle droit ayant pour mesure le rayon et la circonférence du cercle.

[3] Archimède procède par l’absurde en supposant dans un premier temps que la surface du cercle est plus grande que celle du triangle ; il étudiera ensuite l’hypothèse contraire.

[4] On construit une approximation du cercle grâce à des polygones inscrits, dont le nombre de côtés augmente pour assurer une précision croissante jusqu’à obtenir un écart de surface entre le polygone et le cercle qui soit plus petit que l’écart entre le cercle et le triangle. Cela est rendu possible grâce au cinquième postulat énoncé dans De la sphère et du cylindre.

[5] On se réfère ici au côté du triangle égal au rayon du cercle.

[6] Il s’agit du côté du triangle égal au périmètre du cercle.

Thalès

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Voici le premier épisode d’Arithm’Antique consacré non pas à une notion mais à une personne, et ce n’est pas la moindre puisqu’il s’agit de Thalès de Milet. Premier philosophe, premier mathématicien : c’est ce que l’Histoire en retient habituellement. Mais que sait-on du personnage historique ? Que sait-on de ses influences et qui a-t-il lui-même influencé ?

Au-delà du simple nom que l’on associe au fameux « théorème de Thalès », ce septième épisode vous fera découvrir des anecdotes croustillantes et des idées méconnues. On a tous vaguement en tête le théorème de Thalès, mais qui était ce Monsieur Thalès ? Cette vidéo vous présente ce philosophe, mathématicien, initiateur de la pensée moderne, mais aussi personnage astucieux et roublard qui aida Crésus à traverser un fleuve et fit la première spéculation économique de l’histoire !

En plus de Thalès, ce personnage si important dans l’histoire de la science et de la philosophie, vous pourrez également découvrir quelques idées de son disciple Anaximandre de Milet. Voici deux citations qui complètent ce que ce septième épisode d’Arithm’Antique vous a présenté sur sa pensée :

Il affirme encore que l’homme a été au commencement engendré à partir d’animaux d’espèces différentes, compte tenu du fait que les autres animaux se nourrissent très tôt par leurs propres moyens alors que l’homme est le seul à réclamer un allaitement prolongé : c’est pourquoi, au commencement, l’homme n’aurait pas pu trouver son salut, si sa nature avait déjà été telle qu’elle est maintenant. [1]

Les animaux sont engendrés à parti de l’humide évaporé par le Soleil. Mais l’homme est engendré par un autre animal, plus précisément le poisson, et au commencement ressemblait à un poisson. [2]

Plus de deux millénaires avant Darwin, il fallait y penser !

[1] cité par le Pseudo-Plutarque, Stromates, 2.

[2] cité par Hipployte,  Réfutation de toutes les hérésies, I, 6.

Les nombres triangulaires

Article et vidéo initialement publiés sur La vie des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. 

Les nombres peuvent-ils être des formes géométriques ? Évidemment ! C’est même grâce à des astuces géométriques que les grecs, notamment les pythagoriciens, parvenaient à faire nombre de calculs. D’ailleurs, pour eux, les nombres représentent bien plus :

« Selon Philolaos, la grandeur mathématique à trois dimensions est contenue dans le nombre 4, la qualité et la couleur de la nature visible dans le nombre 5, le principe vital dans le nombre 6, l’intellect, la santé et ce qu’il appelle la lumière dans le nombre 7. Après quoi, il ajoute que l’amour, l’amitié, la ruse et l’intellection ont conférés aux êtres par le nombre 8. » (Pseudo-Jamblique, Théologoumènes arithmétiques, éd. De Falco, 74, 10.)

Mais le nombre le plus important pour les pythagoriciens est le nombre 10 car c’est un nombre triangulaire ! En plus de cela, il possède bien des propriétés…

Eh oui le nombre 10 est parfait. Voici quelques précisions sous la plume de Philolaos, le philosophe pythagoricien amateur de musique :

« Le nombre 10 est parfait ; et en droit et par nature, nous revenons toujours à lui, quelle que soit notre manière de compter, que nous soyons grecs ou de toute autre nationalité, que nous le voulions ou non. D’abord, il se doit d’être un nombre pair, pour contenir un nombre égal de pairs et d’impairs et empêcher un déséquilibre entre eux […]. Ensuite, il faut que ce nombre contienne une quantité égale de nombres premiers simples et de nombres seconds composés : c’est bien le cas du nombre 10 qui est d’ailleurs le plus petit nombre dans ce cas. […] Par ailleurs, dans le nombre 10 sont contenus tous les rapports : égalité, supériorité, infériorité, superpartialité etc. ainsi que les nombres linéaires[1], plans[2] et cubiques[3]. En effet, 1 est le point, 2 la ligne, 3 le triangle, 4 la pyramide : tous ces nombres viennent en premier et sont les principes des familles numériques à laquelle chacun des suivants appartient. De plus, la première de toutes les progressions mathématiques, c’est bien celle qui se voit ici : le nombre 10 est le dernier terme d’une progression arithmétique où la différence entre un terme et son antécédent est égale. »[4]

Si vous pensez que la symbolique des chiffres s’arrête là, détrompez-vous ! Elle permettait même, d’après Empédocle, de savoir si un fœtus était viable ou non :

« Empédocle lui aussi connaît les deux sortes de temps propres à la grossesse. C’est pourquoi il applique aux femmes l’épithète : aux deux grossesses et il a dit même qu’il existait un dépassement du nombre des jours de la grossesse, et aussi que les fœtus de huit mois sont non viables ; et cela est fort vraisemblable. Car le premier nombre des grossesses de sept mois, qui est 35, est formé de la somme des nombres 6, 8, 9, 12 dont les extrêmes 6 et 12 sont dans un rapport double et constituent l’octave. Le premier nombre des grossesses de neuf mois, 45, est formé de la somme des nombres consonants 6, 9, 12, 18, dont les extrêmes sont dans un rapport triple. Or il n’y a pas d’autre rapport consonant entre ces nombres, de sorte que, selon toute vraisemblance, en l’absence de consonance, les fœtus de huit mois sont non viables. »[5]

Eh oui, pour lui, les propriétés arithmétiques règlent les phénomènes physiologiques. Heureusement qu’il était philosophe plutôt que gynécologue…

[1] Le nombre 1.

[2] Le nombre 4.

[3] Le nombre 8.

[4] Cité par Pseudo-Jamblique, Théologoumènes arithématiques, éd. De Falco, 82, 10.

[5] Proclus, Commentaire sur la République de Platon, II, p. 24, 25