La moyenne, quelle moyenne ?
Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.
Moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique ? Comment les représenter géométriquement dans un demi-cercle ? Toutes les réponses vous seront données par Archytas, Porphyre et Pappus !
En complément de la vidéo, voici comment démontrer que la proportion harmonique de AΔ et ΔΓ est représentée par le segment BZ dans le demi-cercle proposé par Pappus d’Alexandrie.
Il suffit de remarquer que, dans le triangle ΔBE, cos (B) = ΔB/BE et, dans le triangle ΔBZ, cos (B) = BZ/ΔB. On en déduit que BZ = ΔB² x BE. Or ΔB est la moyenne géométrique de AΔ et ΔΓ, donc ΔB² = AΔ x ΔΓ et BE en est la moyenne arithmétique (car c’est un rayon).
On obtient ainsi : BZ = AΔ x ΔΓ / ((AΔ + ΔΓ)/2) = 2 / (1/AΔ + 1/ΔΓ). BZ est donc bien la moyenne harmonique de AΔ et ΔΓ.

OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Antoine Houlou-Garcia (20 mars 2019). La moyenne, quelle moyenne ? Mathématiques et Antiquité. Consulté le 22 avril 2025 à l’adresse https://doi.org/10.58079/rajm