Les nombres polygonaux

Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Les pythagoriciens se sont amusés à représenter les nombres sous forme géométrique. Comment cela fonctionne-t-il ? Quel est le rapport avec le théorème des quatre carrés ? De Nicomaque de Gérase à Lagrange en passant par Fermat, voici l’histoire des nombres figurés !

Voici un extrait du livre II de l’Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérase qui explique la manière dont on peut décomposer un p-gone d’ordre n en un (p-1)-gone d’ordre n et un triangle d’ordre n-1 :

 
Triangles 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
Carrés 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Pentagones 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145
Hexagones 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190
Heptagones 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235

“Prends donc deux triangles que tu combines entre eux, tu obtiendras un carré parfait et, par conséquent, en brisant un carré quelconque, tu pourras obtenir deux triangles à partir de ce carré. Et de même un triangle ajouté à toute figure carrée donnera un pentagone quelconque ; c’est ainsi qu’un carré de 4 points ajouté à un triangle de 1 [point] donne un pentagone de 5 [points] et que le triangle suivant, évidemment de 3, ajouté de proche en proche à [un carré de] 9, donne un pentagone de 12 tandis que le [triangle] suivant, de 6, ajouté au [carré] suivant de 16, atteindra 22, de même que celui de 10 ajouté à celui de 25 donnera 35, et ainsi de suite sans cesse[1].”

Le tableau suivant, présenté par Nicomaque, permet de comprendre toutes les décompositions possibles à la manière d’un triangle de Pascal : 


[1]. Traduction par Antoine Houlou-Garcia et Alain Houlou, in Mathematikos, Les Belles Lettres, 2019, pp. 98-99. 


Antoine Houlou-Garcia

Antoine Houlou-Garcia, a publié Métamorphoses de la poésie (La Cheminante, 2013) et Le monde est-il mathématique ? (Honoré Champion, 2015). Pour La vie des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres, il écrit, présente et réalise la chronique vidéo Arithm’Antique, qui lie mathématiques et antiquité.

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