Les nombres polygonaux
Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.
Les pythagoriciens se sont amusés à représenter les nombres sous forme géométrique. Comment cela fonctionne-t-il ? Quel est le rapport avec le théorème des quatre carrés ? De Nicomaque de Gérase à Lagrange en passant par Fermat, voici l’histoire des nombres figurés !
Voici un extrait du livre II de l’Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérase qui explique la manière dont on peut décomposer un p-gone d’ordre n en un (p-1)-gone d’ordre n et un triangle d’ordre n-1 :
Triangles | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | |
Carrés | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
Pentagones | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | |
Hexagones | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | |
Heptagones | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 |
“Prends donc deux triangles que tu combines entre eux, tu obtiendras un carré parfait et, par conséquent, en brisant un carré quelconque, tu pourras obtenir deux triangles à partir de ce carré. Et de même un triangle ajouté à toute figure carrée donnera un pentagone quelconque ; c’est ainsi qu’un carré de 4 points ajouté à un triangle de 1 [point] donne un pentagone de 5 [points] et que le triangle suivant, évidemment de 3, ajouté de proche en proche à [un carré de] 9, donne un pentagone de 12 tandis que le [triangle] suivant, de 6, ajouté au [carré] suivant de 16, atteindra 22, de même que celui de 10 ajouté à celui de 25 donnera 35, et ainsi de suite sans cesse[1].”
Le tableau suivant, présenté par Nicomaque, permet de comprendre toutes les décompositions possibles à la manière d’un triangle de Pascal :
[1]. Traduction par Antoine Houlou-Garcia et Alain Houlou, in Mathematikos, Les Belles Lettres, 2019, pp. 98-99.