Les nombres parfaits

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Il existe des nombres de peu de vertu et des nombres parfaits. Pour déterminer la qualité d’un nombre, tout repose sur la somme de ses diviseurs. D’Euclide à Euler en passant par Boèce, Voici l’histoire des très rares nombres parfaits !

Comme on le voit dans la vidéo ci-dessus, les nombres ont une qualité intrinsèque qui tient à leur vertu : abondance, déficience et perfection sont ici des caractéristiques qui tiennent au rapport entre le tout et ses parties. La perfection est le juste équilibre du tout et des parties mais aussi le juste milieu entre abondance et déficience, suivant ainsi la morale classique. Euclide montre (proposition 36 du Livre IX) que si 2^p – 1 est premier, alors 2^(p-1) – 1 est parfait. Euler démontrera au dix-huitième siècle que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Voici comment Boèce décrit ces nombres : 

Ceux dont le nombre des parties va au-delà de ce qui est suffisant sont appelés abondants. Exemples : 12, 24. Car si l’on compare ces nombres à leurs parties, la somme de ces parties est plus grande que la totalité du corps. Le nombre 12 a une moitié, 6, un tiers, 4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, et le total de tout cela est en excès : il monte à 16, et il dépasse la valeur du corps tout entier du nombre. Quant à 24, il a une moitié, 12, un tiers, 8, un quart, 6, un sixième, 4, un huitième, 3, un douzième, 2, un vingt-quatrième, 1, qui, tous ensemble, valent 36 : là, il est clair que la somme des parties est plus grande et plus abondante que le corps lui-même.

C’est ce nombre, dont la somme des parties l’emporte sur la valeur du nombre tout entier, que l’on appelle abondant.

Quant au nombre déficient, c’est celui dont la somme des parties, effectuée de la même façon, est surpassée par la valeur du terme tout entier. […]

Entre ces deux espèces, comme entre deux excès opposés, la juste mesure du moyen terme est tenue par le nombre que l’on appelle parfait, imitateur de la vertu : il n’est pas soumis à l’étirement d’une progression surabondante, ni, inversement, resserré et contracté par la diminution, mais, occupant une place médiane, il est égal à ses propres parties : ni épaissi par l’abondance, ni rendu indigent par la privation. Exemples : 6, 28. Car le nombre 6 a une moitié, 3, un tiers, 2, et un sixième, 1 : si ces parties sont additionnées, on trouvera que la totalité du corps du nombre est égale à ses propres parties. Quant à 28, il a une moitié, 14, un septième, 4, mais aussi un quart, 7 ; il possède un quatorzième, 2, et l’on trouvera en lui un vingt-quatrième, 1 ; si ces parties sont additionnées, la totalité du corps sera égale à ses parties ; car les parties additionnées feront 28.

Il y a dans ces nombres aussi une grande similitude avec le vice et la vertu.

Institution arithmétique, I, 19-20

L’invention oubliée du zéro par les Grecs

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Avant l’invention du zéro par les mathématiciens arabes, Jamblique, un mathématicien grec, l’avait déjà inventé mais cette innovation tombera dans l’oubli. Venez donc les pistes d’une enquête mathématique…

Jamblique est un précurseur encore peu reconnu du concept de zéro, notamment parce que ses successeurs directs ont trouvé cette idée si étrange d’un point de vue conceptuel qu’ils ne l’ont pas retenue. Pour Jamblique, le zéro – qu’il appelle oudên (« rien ») – est nécessaire pour que l’on puisse envisager tous les nombres – dont la monade (l’unité) – de la même manière : comme moyenne de ceux qui l’entourent. De même que la dyade (le nombre 2) peut être envisagée comme la moyenne de 1 et de 3, la monade doit être envisagée comme la moyenne de rien et de 2. Ce « rien », qui précède l’unité, correspond bien à notre zéro arithmétique avec ses propriétés d’addition et de multiplication, que Jamblique n’envisageait cependant pas pour une numération décimale comme le permettent les chiffres indo-arabes. Voici trois extraits du Commentaire sur l’Introduction à l’arithmétique de Nicomaque où sa pensée est clairement exprimée et dont je vous propose une traduction originale :

En divers endroits, il nous apparaît comme malgré nous qu’il faut l’admettre par la nature de la théorie : ici d’abord dans le fait que la monade est tout aussi bien la moitié de chacun de ceux qui l’entourent, la dyade et le rien, de même que les nombres suivants apparaissent comme la moitié de chacun de ceux qui les entourent. […]

Ainsi ce qui est pensé comme plus petit que la monade, qui est indivisible, le rien, préserve parfaitement l’analogie avec la monade, mieux que la moitié qu’ils utilisaient, et la monade devient elle aussi la moitié des nombres qui l’encadrent : en effet, du deux et du rien, la moitié est l’un. […]

[…] quant au rien, qu’il semble multiplier lui-même ou un autre, ne sortira jamais de lui-même. En effet, rien fois rien et 9 fois rien sont rien ; c’est égal à aucunement 9. Et de même pour les autres.

Traduction d’Antoine Houlou-Garcia basée sur le texte grec de Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber, éd. Ermenegildo Pistelli, Leipzig, Teubner, 1894 ; p. 16, lignes 6 à 11 ; p. 18, lignes 21 à 26 ; p. 19, lignes 11 à 14.

Archimède : Pour l’éternité

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La plus grande fierté d’Archimède est d’avoir pu inscrire la sphère dans le cylindre au point qu’il demanda à ce que son tombeau en fût orné. Cicéron nous le raconte et Plutarque nous rappelle tout le génie du mathématicien.

Voici le récit complet que fait Cicéron de sa redécouverte du tombeau d’Archimède, comme cela a été abordé dans l’épisode n°21 d’Arithm’Antique :

Du reste, à l’époque où j’étais questeur, c’est moi qui ai découvert son tombeau, dont les Syracusains ignoraient et même niaient l’existence. Un fouillis de ronces et de buissons l’entourait et le masquait de toutes parts. Il faut dire que je connaissais certains petits sénaires, lesquels, d’après une tradition, auraient été gravés sur le monument : il y était dit clairement que, au sommet du tombeau, on avait placé une sphère avec un cylindre. Un jour donc que je fouillais du regard tout le terrain situé aux abords de la porte d’Agrigente, car il y a là une multitude de tombeaux, voilà que mes yeux tombent sur une petite colonne qui émergeait à peine des buissons : elle était surmontée d’une sphère et d’un cylindre. Tout de suite je dis aux Syracusains c’étaient les notables qui m’accompagnaient que ce devait être justement ce que je cherchais. On envoie là nombre de gens armés de faux pour nettoyer et dégager l’emplacement ; puis, quand on eut frayé un passage, nous nous dirigeâmes vers la face antérieure du piédestal. L’inscription y était reconnaissable, bien que le temps eût mangé l’extrémité des vers dont il ne subsistait guère que la moitié. Ainsi la cité de la Grèce la plus célèbre et même à un moment la plus savante aurait ignoré le monument du plus génial de ses fils, si un enfant d’Arpinum ne le lui avait fait connaître.

Tusculanes, V, 23