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La moyenne, quelle moyenne ?

Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique ? Comment les représenter géométriquement dans un demi-cercle ? Toutes les réponses vous seront données par Archytas, Porphyre et Pappus !

En complément de la vidéo, voici comment démontrer que la proportion harmonique de AΔ et ΔΓ est représentée par le segment BZ dans le demi-cercle proposé par Pappus d’Alexandrie. 

Il suffit de remarquer que, dans le triangle ⁡ΔBE, cos (⁡B) = ΔB/BE et, dans le triangle ΔBZ, cos (⁡B) = BZ/ΔB. On en déduit que BZ = ΔB² x BE. Or ΔB est la moyenne géométrique de AΔ et ΔΓ, donc ΔB² = AΔ x ΔΓ et BE en est la moyenne arithmétique (car c’est un rayon).

On obtient ainsi : BZ = AΔ x ΔΓ / ((AΔ + ΔΓ)/2) = 2 / (1/AΔ + 1/ΔΓ). BZ est donc bien la moyenne harmonique de AΔ et ΔΓ.


Proportions et politiques

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Associer les modes de gouvernement aux différentes manières de calculer une moyenne, c’est le défi que se sont lancé Platon et Aristote mais également Boèce. Voici le calcul des moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et la conception politique que les trois auteurs en avaient !

S’il reprend Nicomaque de Gérase pour la définition des proportions, Boèce nous gratifie en revanche d’une interprétation politique des trois proportions qu’il relie aux trois grandes formes de gouvernement. S’il est vrai que, dès Archytas et Platon, de telles relations ont été faites sur les proportions arithmétique et géométrique (associées respectivement à l’inégalité et l’égalité par Platon), on trouve ici ajoutée la proportion harmonique. La réflexion politique menée ici est certainement en lien avec les tentatives de Symmaque et Boèce d’influer auprès de Théodoric.

Maintenant, nous sommes conduits à donner, pour terminer de la façon la mieux appropriée cette introduction arithmétique, un exposé sur les proportions qui pourra nous être utile pour les études de la musique, les subtilités de l’astronomie ou l’essentiel de la science géométrique et aussi pour la lecture et la compréhension des Anciens.

La proportion est donc l’association, le rassemblement de deux, de trois ou d’un nombre quelconque de rapports en un seul rapport. Et pour en donner une définition générale : la proportion est une relation semblable entre deux ou plusieurs rapports, même s’ils ne sont pas constitués avec les mêmes quotités et les mêmes différences (la différence est la quotité qu’il y a entre les nombres).

Un rapport est une relation réciproque, une sorte de suite de deux termes dont la réunion donne une proportion. Car c’est la réunion de rapports qui fait la proportion. […]

Sont admises et connues des Anciens et au nombre des connaissances de Pythagore, de Platon et d’Aristote, les trois suivantes : l’arithmétique, la géométrique et l’harmonique[1]. […]

Et la médiété arithmétique se compare à l’Etat gouverné par un petit nombre, parce que c’est entre les plus petits termes que le rapport est le plus grand. La médiété musicale[2] est, dit-on, l’Etat des meilleurs, parce que la proportion la plus grande s’y trouve entre les plus grands termes. Et la médiété géométrique est en quelque sorte celle de l’Etat démocratique, dans lequel les citoyens sont égaux. En effet, entre les plus grands termes comme entre les plus petits, la proportion qui la compose est toujours égale et il y a entre tous ses termes la parité d’une médiété qui conserve l’égalité du droit dans les rapports.

Institution arithmétique, II, 40, 41 et 45


[1] Boèce, reprenant Nicomaque de Gérase, liste quelques autres proportions que nous ne présentons pas ici.

[2] C’est-à-dire harmonique.

Les nombres parfaits

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Il existe des nombres de peu de vertu et des nombres parfaits. Pour déterminer la qualité d’un nombre, tout repose sur la somme de ses diviseurs. D’Euclide à Euler en passant par Boèce, Voici l’histoire des très rares nombres parfaits !

Comme on le voit dans la vidéo ci-dessus, les nombres ont une qualité intrinsèque qui tient à leur vertu : abondance, déficience et perfection sont ici des caractéristiques qui tiennent au rapport entre le tout et ses parties. La perfection est le juste équilibre du tout et des parties mais aussi le juste milieu entre abondance et déficience, suivant ainsi la morale classique. Euclide montre (proposition 36 du Livre IX) que si 2^p – 1 est premier, alors 2^(p-1) – 1 est parfait. Euler démontrera au dix-huitième siècle que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Voici comment Boèce décrit ces nombres : 

Ceux dont le nombre des parties va au-delà de ce qui est suffisant sont appelés abondants. Exemples : 12, 24. Car si l’on compare ces nombres à leurs parties, la somme de ces parties est plus grande que la totalité du corps. Le nombre 12 a une moitié, 6, un tiers, 4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, et le total de tout cela est en excès : il monte à 16, et il dépasse la valeur du corps tout entier du nombre. Quant à 24, il a une moitié, 12, un tiers, 8, un quart, 6, un sixième, 4, un huitième, 3, un douzième, 2, un vingt-quatrième, 1, qui, tous ensemble, valent 36 : là, il est clair que la somme des parties est plus grande et plus abondante que le corps lui-même.

C’est ce nombre, dont la somme des parties l’emporte sur la valeur du nombre tout entier, que l’on appelle abondant.

Quant au nombre déficient, c’est celui dont la somme des parties, effectuée de la même façon, est surpassée par la valeur du terme tout entier. […]

Entre ces deux espèces, comme entre deux excès opposés, la juste mesure du moyen terme est tenue par le nombre que l’on appelle parfait, imitateur de la vertu : il n’est pas soumis à l’étirement d’une progression surabondante, ni, inversement, resserré et contracté par la diminution, mais, occupant une place médiane, il est égal à ses propres parties : ni épaissi par l’abondance, ni rendu indigent par la privation. Exemples : 6, 28. Car le nombre 6 a une moitié, 3, un tiers, 2, et un sixième, 1 : si ces parties sont additionnées, on trouvera que la totalité du corps du nombre est égale à ses propres parties. Quant à 28, il a une moitié, 14, un septième, 4, mais aussi un quart, 7 ; il possède un quatorzième, 2, et l’on trouvera en lui un vingt-quatrième, 1 ; si ces parties sont additionnées, la totalité du corps sera égale à ses parties ; car les parties additionnées feront 28.

Il y a dans ces nombres aussi une grande similitude avec le vice et la vertu.

Institution arithmétique, I, 19-20