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Pythagore et les forgerons

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Pythagore se promenait un jour près d’une forge, et il comprit soudain les mathématiques de l’harmonie…

Pour compléter la vidéo, voici la récit que fait Macrobe de la découverte des rapports harmonieux par Pythagore dans son Commentaire au Songe de Scipion :

Comme il passait par hasard dans la rue devant des forgerons battant le fer incandescent, les sons des marteaux qui se répondaient en ordre précis frappèrent tout à coup ses oreilles ; les aigus s’y harmonisaient si bien aux graves que les uns et les autres revenaient affecter la perception de l’auditeur en respectant un intervalle fixe, et que, de ces coups variés, naissait une harmonie unique. Comprenant l’occasion qui s’offrait à lui, Pythagore saisit grâce à la vue et au toucher ce qu’il cherchait depuis longtemps par la réflexion. Il s’approche des forgerons et se penche sur leur travail qu’il observe avec un intérêt particulier, attentif aux sons produits par le bras de chaque ouvrier. Dans l’idée qu’ils étaient fonction de la force des hommes qui frappaient, il leur fait échanger leurs marteaux. Une fois l’échange accompli, la diversité des sons, indépendante des hommes, correspondait aux marteaux. Alors il mit tout son soin à en évaluer le poids, et après avoir noté la différence de poids qui caractérisait chacun il fit fabriquer des marteaux de poids différents, en plus ou en moins ; les sons produits par leurs coups ne ressemblaient en rien à ceux d’avant et ne s’accordaient plus aussi bien. Il constata alors que l’harmonie sonore était réglée par les poids, et après avoir relevé les nombres qui définissaient la diversité bien accordée de ces poids, il passa des marteaux à l’examen des instruments à cordes : il tendit des boyaux de mouton ou des nerfs de bœuf en y attachant des poids aussi variés que ceux qu’il avait découverts à propos des marteaux, et il en résulta bien le genre d’accord que lui avait fait espérer son observation antérieure, à laquelle il ne s’était pas livré pour rien ; s’y ajoutait la douceur conférée par la sonorité naturelle de l’instrument. Alors Pythagore, en possession de ce considérable secret, détermina les nombres dont naissaient les sons d’un accord : usant d’un instrument à cordes dont la structure se conformait à ces lois numériques, il fit en sorte que des cordes déterminées fussent tendues selon des nombres déterminés et d’ autres selon d’ autres nombres , en respectant l’accord des nombres régissant l’harmonie, si bien que, quand une corde unique était frappée par le plectre, une autre, qui pouvait être placée à distance mais s’accordait numériquement avec elle, résonnait du même coup.

Commentaire au songe de Scipion, II, 1, 9-13

Impairs magiques

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Les chiffres impairs recèlent de surprenantes propriétés …

En complément de la vidéo de l’épisode n°27 sur les nombres impairs, voici la manière dont Boèce présente la propriété 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3² et ainsi de suite : 

Parmi ces nombres, si je considère 1, je vois naître le premier carré en puissance. Mais si à 1 j’ajoute le troisième, en laissant celui qui le précède, j’obtiens le second carré : car si, laissant 2, j’ajoute 3 à 1, je fais naître 4, qui est un carré. Si maintenant, laissant le nombre médian, 4, j’ajoute de la même façon à 1 et 3 le nombre 5, je vois naître le troisième carré, 9 : car 1 et 3 et 5 font 9. Mais si, laissant dans l’intervalle le nombre 6, j’ajoute 7 aux nombres précédents, le total monte à 16, c’est-à-dire à la valeur du quatrième carré. Résumons clairement la manière de faire naître cette sorte de nombre : si l’on additionne entre eux tous les impairs, suivant la série du nombre naturel évidemment, on obtient le tissu des carrés.

Institution arithmétique, II, 12

Et voici la manière dont on démontre l’égalité énoncée en fin de vidéo sur la somme des n premiers cubes :

 

Proportions et politiques

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Associer les modes de gouvernement aux différentes manières de calculer une moyenne, c’est le défi que se sont lancé Platon et Aristote mais également Boèce. Voici le calcul des moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et la conception politique que les trois auteurs en avaient !

S’il reprend Nicomaque de Gérase pour la définition des proportions, Boèce nous gratifie en revanche d’une interprétation politique des trois proportions qu’il relie aux trois grandes formes de gouvernement. S’il est vrai que, dès Archytas et Platon, de telles relations ont été faites sur les proportions arithmétique et géométrique (associées respectivement à l’inégalité et l’égalité par Platon), on trouve ici ajoutée la proportion harmonique. La réflexion politique menée ici est certainement en lien avec les tentatives de Symmaque et Boèce d’influer auprès de Théodoric.

Maintenant, nous sommes conduits à donner, pour terminer de la façon la mieux appropriée cette introduction arithmétique, un exposé sur les proportions qui pourra nous être utile pour les études de la musique, les subtilités de l’astronomie ou l’essentiel de la science géométrique et aussi pour la lecture et la compréhension des Anciens.

La proportion est donc l’association, le rassemblement de deux, de trois ou d’un nombre quelconque de rapports en un seul rapport. Et pour en donner une définition générale : la proportion est une relation semblable entre deux ou plusieurs rapports, même s’ils ne sont pas constitués avec les mêmes quotités et les mêmes différences (la différence est la quotité qu’il y a entre les nombres).

Un rapport est une relation réciproque, une sorte de suite de deux termes dont la réunion donne une proportion. Car c’est la réunion de rapports qui fait la proportion. […]

Sont admises et connues des Anciens et au nombre des connaissances de Pythagore, de Platon et d’Aristote, les trois suivantes : l’arithmétique, la géométrique et l’harmonique[1]. […]

Et la médiété arithmétique se compare à l’Etat gouverné par un petit nombre, parce que c’est entre les plus petits termes que le rapport est le plus grand. La médiété musicale[2] est, dit-on, l’Etat des meilleurs, parce que la proportion la plus grande s’y trouve entre les plus grands termes. Et la médiété géométrique est en quelque sorte celle de l’Etat démocratique, dans lequel les citoyens sont égaux. En effet, entre les plus grands termes comme entre les plus petits, la proportion qui la compose est toujours égale et il y a entre tous ses termes la parité d’une médiété qui conserve l’égalité du droit dans les rapports.

Institution arithmétique, II, 40, 41 et 45


[1] Boèce, reprenant Nicomaque de Gérase, liste quelques autres proportions que nous ne présentons pas ici.

[2] C’est-à-dire harmonique.