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Impairs magiques

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Les chiffres impairs recèlent de surprenantes propriétés …

En complément de la vidéo de l’épisode n°27 sur les nombres impairs, voici la manière dont Boèce présente la propriété 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3² et ainsi de suite : 

Parmi ces nombres, si je considère 1, je vois naître le premier carré en puissance. Mais si à 1 j’ajoute le troisième, en laissant celui qui le précède, j’obtiens le second carré : car si, laissant 2, j’ajoute 3 à 1, je fais naître 4, qui est un carré. Si maintenant, laissant le nombre médian, 4, j’ajoute de la même façon à 1 et 3 le nombre 5, je vois naître le troisième carré, 9 : car 1 et 3 et 5 font 9. Mais si, laissant dans l’intervalle le nombre 6, j’ajoute 7 aux nombres précédents, le total monte à 16, c’est-à-dire à la valeur du quatrième carré. Résumons clairement la manière de faire naître cette sorte de nombre : si l’on additionne entre eux tous les impairs, suivant la série du nombre naturel évidemment, on obtient le tissu des carrés.

Institution arithmétique, II, 12

Et voici la manière dont on démontre l’égalité énoncée en fin de vidéo sur la somme des n premiers cubes :

 

Léonard et la quadrature

De la quadrature du cercle à l’Homme de Vitruve dessiné par Léonard de Vinci, on vous raconte comment mettre des carrés dans des cercles.

Voici l’ensemble du passage de Vitruve cité partiellement dans la vidéo :

L’ordonnance d’un édifice consiste dans la proportion, chose à laquelle l’architecte doit apporter le plus grand soin. Or, la proportion naît du rapport de grandeur que les Grecs appellent ἀναλογία. Ce rapport est la convenance de mesure qui existe entre une certaine partie des membres d’un ouvrage et le tout ; c’est d’après cette partie qu’on règle les proportions. Car il n’est point d’édifice qui, sans proportion ni rapport, puisse être bien ordonné ; il doit avoir la plus grande analogie avec un corps humain bien formé.

Or, voici les proportions que lui a données la nature : le visage, depuis le menton jusqu’au haut du front, à la racine des cheveux, est la dixième partie de la hauteur de l’homme ; la paume de la main, depuis l’articulation du poignet jusqu’au bout du doigt du milieu, a la même longueur ; la tête, depuis le menton jusqu’au sommet, forme la huitième partie; même mesure par derrière; depuis le haut de la poitrine jusqu’à la racine des cheveux, il y a une sixième partie, et jusqu’au sommet de la tête une quatrième. La longueur du visage se divise en trois parties la première s’étend depuis le bas du menton jusqu’au-dessous du nez ; la seconde, depuis le dessous du nez jusqu’au haut des sourcils, et la troisième, depuis cette ligne jusqu’à la racine des cheveux, qui termine le front. Le pied a la sixième partie de la hauteur du corps ; le coude, la quatrième, de même que la poitrine. Les autres membres ont aussi leurs mesures et leurs proportions ; c’est en les observant que les plus célèbres peintres et sculpteurs de l’antiquité ont acquis une réputation si grande et si durable.

Il en est de même des parties d’un édifice sacré : toutes doivent avoir dans leur étendue particulière des proportions qui soient en harmonie avec la grandeur générale du temple. Le centre du corps est naturellement au nombril. Qu’un homme, en effet, soit couché sur le dos, les mains et les pieds étendus, si l’une des branches d’un compas est appuyée sur le nombril, l’autre, en décrivant une ligne circulaire, touchera les doigts des pieds et des mains. Et de même qu’un cercle peut être figuré avec le corps ainsi étendu, de même on peut y trouver un carré : car si on prend la mesure qui se trouve entre l’extrémité des pieds et le sommet de la tête, et qu’on la rapporte à celle des bras ouverts, on verra que la largeur répond à la hauteur, comme dans un carré fait à l’équerre.

Quant à la quadrature du cercle, si elle est insoluble, elle a néanmoins donné l’idée de s’en moquer à Aristophane dans Les Oiseaux où Métôn, le géomètre ridicule et incompréhensible, en souffle quelques mots :

J’applique une règle droite, de manière à ce que tu aies un cercle tétragone ; au centre est l’Agora, les rues qui y conduisent sont droites et convergentes au centre, ainsi que d’un astre, qui est rond de sa nature, partent des rayons droits qui brillent dans tous les sens.