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Mon précieux nombre 10

Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Le nombre 10 est un nombre considéré comme parfait par bien des mathématiciens antiques ; pourquoi ? Des éléments de réponse sont donnés notamment par Aristote et Jamblique !

En complément de la vidéo sur la perfection du nombre dix, voici le passage d’Aristote évoqué dans la vidéo et qui pose la prééminence de la base décimale : 

“Pourquoi tous les hommes, aussi bien les Barbares que les Grecs, comptent-ils jusqu’à dix et non pas jusqu’à quelque autre nombre, pourquoi, par exemple, après deux, trois, quatre, cinq, ne comptent-ils pas ensuite en prenant cinq pour base, en disant cinq et un, cinq et deux, comme ils font pour dix et un, dix et deux, et pourquoi non plus ne s’arrêtent-ils pas plutôt au-delà de dix et ne prennent-ils pas une base supérieure à dix ? Car chacun des nombres est le précédent plus un, plus deux et ainsi de suite, et pourtant quand on compte on se borne à dix. On ne peut pas dire que ce soit par hasard, puisqu’on le voit faire à tous les hommes et toujours. Car ce qui se trouve toujours et chez tous n’est pas un effet du hasard, mais correspond à la nature. Est-ce parce que dix est un nombre parfait ? Car il contient tous les types de nombres, nombre carré et cube, nombre pair et impair, de longueur et de surface, nombre premier et nombre composé. Ou bien est-ce parce que la décade est un principe ? En effet, un plus deux, plus quatre font la décade. Est-ce parce que les corps qui effectuent leur révolution sont au nombre de neuf ? Ou bien est-ce parce que dans dix rapports, on trouve au cube les quatre nombres dont, selon les Pythagoriciens, le monde est formé. Ou est-ce parce que tous les hommes naissent en ayant dix doigts ? Donc, après avoir fait des comptes avec le nombre dont ils disposaient, ils se sont servis de cette quantité pour compter également le reste. Seule une peuplade de Thrace compte par quatre, parce qu’ils sont comme les petits enfants et ne peuvent se souvenir au-delà, et qu’ils n’ont besoin de rien de plus.”

Problèmes, XV, 3

Pythagore et les forgerons

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Pythagore se promenait un jour près d’une forge, et il comprit soudain les mathématiques de l’harmonie…

Pour compléter la vidéo, voici la récit que fait Macrobe de la découverte des rapports harmonieux par Pythagore dans son Commentaire au Songe de Scipion :

Comme il passait par hasard dans la rue devant des forgerons battant le fer incandescent, les sons des marteaux qui se répondaient en ordre précis frappèrent tout à coup ses oreilles ; les aigus s’y harmonisaient si bien aux graves que les uns et les autres revenaient affecter la perception de l’auditeur en respectant un intervalle fixe, et que, de ces coups variés, naissait une harmonie unique. Comprenant l’occasion qui s’offrait à lui, Pythagore saisit grâce à la vue et au toucher ce qu’il cherchait depuis longtemps par la réflexion. Il s’approche des forgerons et se penche sur leur travail qu’il observe avec un intérêt particulier, attentif aux sons produits par le bras de chaque ouvrier. Dans l’idée qu’ils étaient fonction de la force des hommes qui frappaient, il leur fait échanger leurs marteaux. Une fois l’échange accompli, la diversité des sons, indépendante des hommes, correspondait aux marteaux. Alors il mit tout son soin à en évaluer le poids, et après avoir noté la différence de poids qui caractérisait chacun il fit fabriquer des marteaux de poids différents, en plus ou en moins ; les sons produits par leurs coups ne ressemblaient en rien à ceux d’avant et ne s’accordaient plus aussi bien. Il constata alors que l’harmonie sonore était réglée par les poids, et après avoir relevé les nombres qui définissaient la diversité bien accordée de ces poids, il passa des marteaux à l’examen des instruments à cordes : il tendit des boyaux de mouton ou des nerfs de bœuf en y attachant des poids aussi variés que ceux qu’il avait découverts à propos des marteaux, et il en résulta bien le genre d’accord que lui avait fait espérer son observation antérieure, à laquelle il ne s’était pas livré pour rien ; s’y ajoutait la douceur conférée par la sonorité naturelle de l’instrument. Alors Pythagore, en possession de ce considérable secret, détermina les nombres dont naissaient les sons d’un accord : usant d’un instrument à cordes dont la structure se conformait à ces lois numériques, il fit en sorte que des cordes déterminées fussent tendues selon des nombres déterminés et d’ autres selon d’ autres nombres , en respectant l’accord des nombres régissant l’harmonie, si bien que, quand une corde unique était frappée par le plectre, une autre, qui pouvait être placée à distance mais s’accordait numériquement avec elle, résonnait du même coup.

Commentaire au songe de Scipion, II, 1, 9-13

L’invention oubliée du zéro par les Grecs

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Avant l’invention du zéro par les mathématiciens arabes, Jamblique, un mathématicien grec, l’avait déjà inventé mais cette innovation tombera dans l’oubli. Venez donc les pistes d’une enquête mathématique…

Jamblique est un précurseur encore peu reconnu du concept de zéro, notamment parce que ses successeurs directs ont trouvé cette idée si étrange d’un point de vue conceptuel qu’ils ne l’ont pas retenue. Pour Jamblique, le zéro – qu’il appelle oudên (« rien ») – est nécessaire pour que l’on puisse envisager tous les nombres – dont la monade (l’unité) – de la même manière : comme moyenne de ceux qui l’entourent. De même que la dyade (le nombre 2) peut être envisagée comme la moyenne de 1 et de 3, la monade doit être envisagée comme la moyenne de rien et de 2. Ce « rien », qui précède l’unité, correspond bien à notre zéro arithmétique avec ses propriétés d’addition et de multiplication, que Jamblique n’envisageait cependant pas pour une numération décimale comme le permettent les chiffres indo-arabes. Voici trois extraits du Commentaire sur l’Introduction à l’arithmétique de Nicomaque où sa pensée est clairement exprimée et dont je vous propose une traduction originale :

En divers endroits, il nous apparaît comme malgré nous qu’il faut l’admettre par la nature de la théorie : ici d’abord dans le fait que la monade est tout aussi bien la moitié de chacun de ceux qui l’entourent, la dyade et le rien, de même que les nombres suivants apparaissent comme la moitié de chacun de ceux qui les entourent. […]

Ainsi ce qui est pensé comme plus petit que la monade, qui est indivisible, le rien, préserve parfaitement l’analogie avec la monade, mieux que la moitié qu’ils utilisaient, et la monade devient elle aussi la moitié des nombres qui l’encadrent : en effet, du deux et du rien, la moitié est l’un. […]

[…] quant au rien, qu’il semble multiplier lui-même ou un autre, ne sortira jamais de lui-même. En effet, rien fois rien et 9 fois rien sont rien ; c’est égal à aucunement 9. Et de même pour les autres.

Traduction d’Antoine Houlou-Garcia basée sur le texte grec de Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber, éd. Ermenegildo Pistelli, Leipzig, Teubner, 1894 ; p. 16, lignes 6 à 11 ; p. 18, lignes 21 à 26 ; p. 19, lignes 11 à 14.