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La moyenne, quelle moyenne ?

Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique ? Comment les représenter géométriquement dans un demi-cercle ? Toutes les réponses vous seront données par Archytas, Porphyre et Pappus !

En complément de la vidéo, voici comment démontrer que la proportion harmonique de AΔ et ΔΓ est représentée par le segment BZ dans le demi-cercle proposé par Pappus d’Alexandrie. 

Il suffit de remarquer que, dans le triangle ⁡ΔBE, cos (⁡B) = ΔB/BE et, dans le triangle ΔBZ, cos (⁡B) = BZ/ΔB. On en déduit que BZ = ΔB² x BE. Or ΔB est la moyenne géométrique de AΔ et ΔΓ, donc ΔB² = AΔ x ΔΓ et BE en est la moyenne arithmétique (car c’est un rayon).

On obtient ainsi : BZ = AΔ x ΔΓ / ((AΔ + ΔΓ)/2) = 2 / (1/AΔ + 1/ΔΓ). BZ est donc bien la moyenne harmonique de AΔ et ΔΓ.


Mon précieux nombre 10

Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Le nombre 10 est un nombre considéré comme parfait par bien des mathématiciens antiques ; pourquoi ? Des éléments de réponse sont donnés notamment par Aristote et Jamblique !

En complément de la vidéo sur la perfection du nombre dix, voici le passage d’Aristote évoqué dans la vidéo et qui pose la prééminence de la base décimale : 

“Pourquoi tous les hommes, aussi bien les Barbares que les Grecs, comptent-ils jusqu’à dix et non pas jusqu’à quelque autre nombre, pourquoi, par exemple, après deux, trois, quatre, cinq, ne comptent-ils pas ensuite en prenant cinq pour base, en disant cinq et un, cinq et deux, comme ils font pour dix et un, dix et deux, et pourquoi non plus ne s’arrêtent-ils pas plutôt au-delà de dix et ne prennent-ils pas une base supérieure à dix ? Car chacun des nombres est le précédent plus un, plus deux et ainsi de suite, et pourtant quand on compte on se borne à dix. On ne peut pas dire que ce soit par hasard, puisqu’on le voit faire à tous les hommes et toujours. Car ce qui se trouve toujours et chez tous n’est pas un effet du hasard, mais correspond à la nature. Est-ce parce que dix est un nombre parfait ? Car il contient tous les types de nombres, nombre carré et cube, nombre pair et impair, de longueur et de surface, nombre premier et nombre composé. Ou bien est-ce parce que la décade est un principe ? En effet, un plus deux, plus quatre font la décade. Est-ce parce que les corps qui effectuent leur révolution sont au nombre de neuf ? Ou bien est-ce parce que dans dix rapports, on trouve au cube les quatre nombres dont, selon les Pythagoriciens, le monde est formé. Ou est-ce parce que tous les hommes naissent en ayant dix doigts ? Donc, après avoir fait des comptes avec le nombre dont ils disposaient, ils se sont servis de cette quantité pour compter également le reste. Seule une peuplade de Thrace compte par quatre, parce qu’ils sont comme les petits enfants et ne peuvent se souvenir au-delà, et qu’ils n’ont besoin de rien de plus.”

Problèmes, XV, 3

La poésie des mathématiques


Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Contrairement aux idées reçues, les mathématiques et la poésie ont beaucoup de points communs. En marge de la publication du livre “Le compas et la lyre” coécrit avec Joanne Brueton et Bernard Randé, Antoine Houlou-Garcia vous parle de la métaphore en mathématiques.

Pour compléter la vidéo sur les liens entre poésie et mathématiques, voici deux citations extraites de l’ouvrage Le compas et la lyre – Regards croisés sur la poésie et les mathématiques. Dans son Discours préliminaire à l’Encyclopédie, d’Alembert expose toute la poétique de la création mathématique :

L’imagination dans un Géomètre qui crée, n’agit pas moins que dans un Poète qui invente. Il est vrai qu’ils opèrent différemment sur leur objet ; le premier le dépouille & l’analyse, le second le compose & l’embellit. Il est encore vrai que cette manière différente d’opérer n’appartient qu’à différentes sortes d’esprits ; & c’est pour cela que les talents du grand Géomètre & du grand Poète ne se trouveront peut-être jamais ensemble. Mais soit qu’ils s’excluent ou ne s’excluent pas l’un l’autre, ils ne sont nullement en droit de se mépriser réciproquement. De tous les grands hommes de l’antiquité, Archimède est peut-être celui qui mérite le plus d’être placé à côté d’Homère.

Discours préliminaire, Encyclopédie, ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, texte établi par Diderot et d’Alembert, 1751 (Tome 1, p. i-xlv) ; orthographe modernisée.

Sophie Germain exprime dans ses Considérations générales sur l’état des sciences et des lettres le lien originel de la science et de la poésie :

Jeté sur la terre au milieu de l’immensité des choses, frappé à la fois par le spectacle d’une infinité de merveilles, l’homme n’a rien trouvé au dehors de lui de plus merveilleux que lui-même. Il a étendu son existence sur tout ce qui l’environnait. Son individualité lui a d’abord été connue ; cherchant partout sa propre image il a personnifié les êtres inanimés, les êtres intellectuels, enfants de son imagination. Ceux-ci ont présidé à tous les actes et à tous les phénomènes de l’ordre naturel. Ainsi se manifestaient déjà, à cette première époque de la culture intellectuelle, le sentiment profond d’un lien commun entre tous les êtres, et celui d’un type universel empreint dans l’intelligence humaine pour lui servir de modèle.

Les sciences n’existaient pas encore ; mais le besoin d’expliquer s’était fait sentir. La première des littératures fut poétique. Ce qui tenait lieu des sciences physiques n’était pas moins poétique que la littérature elle-même ; ou plutôt ces deux branches du savoir, tellement séparées aujourd’hui qu’il faut de la sagacité pour remarquer ce qu’elles ont de commun, étaient dans ces premiers temps entièrement confondues. Qu’importait, en effet, à l’égard du caractère de la composition, que le sujet fût l’homme lui-même, ou quelqu’un des dieux, demi-dieux, ou génies qu’il avait dotés de l’intelligence et des passions humaines ? Des êtres si pareils pouvaient même agir de concert, sans nuire à l’homogénéité d’invention ; le merveilleux les unissait.

« Comment les sciences et les lettres sont dominées par un sentiment qui leur est commun », premier chapitre de Considérations générales sur l’état des sciences et des lettres, in Œuvres philosophiques de Sophie Germain, librairie de Firmin-Didot et Cie, 1896, p. 92-93