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La moyenne, quelle moyenne ?

Article et vidéo initialement publiés sur La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique ? Comment les représenter géométriquement dans un demi-cercle ? Toutes les réponses vous seront données par Archytas, Porphyre et Pappus !

En complément de la vidéo, voici comment démontrer que la proportion harmonique de AΔ et ΔΓ est représentée par le segment BZ dans le demi-cercle proposé par Pappus d’Alexandrie. 

Il suffit de remarquer que, dans le triangle ⁡ΔBE, cos (⁡B) = ΔB/BE et, dans le triangle ΔBZ, cos (⁡B) = BZ/ΔB. On en déduit que BZ = ΔB² x BE. Or ΔB est la moyenne géométrique de AΔ et ΔΓ, donc ΔB² = AΔ x ΔΓ et BE en est la moyenne arithmétique (car c’est un rayon).

On obtient ainsi : BZ = AΔ x ΔΓ / ((AΔ + ΔΓ)/2) = 2 / (1/AΔ + 1/ΔΓ). BZ est donc bien la moyenne harmonique de AΔ et ΔΓ.


Proportions et politiques

Article et vidéo initialement publiés sur  La Vie Des Classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.

Associer les modes de gouvernement aux différentes manières de calculer une moyenne, c’est le défi que se sont lancé Platon et Aristote mais également Boèce. Voici le calcul des moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et la conception politique que les trois auteurs en avaient !

S’il reprend Nicomaque de Gérase pour la définition des proportions, Boèce nous gratifie en revanche d’une interprétation politique des trois proportions qu’il relie aux trois grandes formes de gouvernement. S’il est vrai que, dès Archytas et Platon, de telles relations ont été faites sur les proportions arithmétique et géométrique (associées respectivement à l’inégalité et l’égalité par Platon), on trouve ici ajoutée la proportion harmonique. La réflexion politique menée ici est certainement en lien avec les tentatives de Symmaque et Boèce d’influer auprès de Théodoric.

Maintenant, nous sommes conduits à donner, pour terminer de la façon la mieux appropriée cette introduction arithmétique, un exposé sur les proportions qui pourra nous être utile pour les études de la musique, les subtilités de l’astronomie ou l’essentiel de la science géométrique et aussi pour la lecture et la compréhension des Anciens.

La proportion est donc l’association, le rassemblement de deux, de trois ou d’un nombre quelconque de rapports en un seul rapport. Et pour en donner une définition générale : la proportion est une relation semblable entre deux ou plusieurs rapports, même s’ils ne sont pas constitués avec les mêmes quotités et les mêmes différences (la différence est la quotité qu’il y a entre les nombres).

Un rapport est une relation réciproque, une sorte de suite de deux termes dont la réunion donne une proportion. Car c’est la réunion de rapports qui fait la proportion. […]

Sont admises et connues des Anciens et au nombre des connaissances de Pythagore, de Platon et d’Aristote, les trois suivantes : l’arithmétique, la géométrique et l’harmonique[1]. […]

Et la médiété arithmétique se compare à l’Etat gouverné par un petit nombre, parce que c’est entre les plus petits termes que le rapport est le plus grand. La médiété musicale[2] est, dit-on, l’Etat des meilleurs, parce que la proportion la plus grande s’y trouve entre les plus grands termes. Et la médiété géométrique est en quelque sorte celle de l’Etat démocratique, dans lequel les citoyens sont égaux. En effet, entre les plus grands termes comme entre les plus petits, la proportion qui la compose est toujours égale et il y a entre tous ses termes la parité d’une médiété qui conserve l’égalité du droit dans les rapports.

Institution arithmétique, II, 40, 41 et 45


[1] Boèce, reprenant Nicomaque de Gérase, liste quelques autres proportions que nous ne présentons pas ici.

[2] C’est-à-dire harmonique.

Léonard et la quadrature

De la quadrature du cercle à l’Homme de Vitruve dessiné par Léonard de Vinci, on vous raconte comment mettre des carrés dans des cercles.

Voici l’ensemble du passage de Vitruve cité partiellement dans la vidéo :

L’ordonnance d’un édifice consiste dans la proportion, chose à laquelle l’architecte doit apporter le plus grand soin. Or, la proportion naît du rapport de grandeur que les Grecs appellent ἀναλογία. Ce rapport est la convenance de mesure qui existe entre une certaine partie des membres d’un ouvrage et le tout ; c’est d’après cette partie qu’on règle les proportions. Car il n’est point d’édifice qui, sans proportion ni rapport, puisse être bien ordonné ; il doit avoir la plus grande analogie avec un corps humain bien formé.

Or, voici les proportions que lui a données la nature : le visage, depuis le menton jusqu’au haut du front, à la racine des cheveux, est la dixième partie de la hauteur de l’homme ; la paume de la main, depuis l’articulation du poignet jusqu’au bout du doigt du milieu, a la même longueur ; la tête, depuis le menton jusqu’au sommet, forme la huitième partie; même mesure par derrière; depuis le haut de la poitrine jusqu’à la racine des cheveux, il y a une sixième partie, et jusqu’au sommet de la tête une quatrième. La longueur du visage se divise en trois parties la première s’étend depuis le bas du menton jusqu’au-dessous du nez ; la seconde, depuis le dessous du nez jusqu’au haut des sourcils, et la troisième, depuis cette ligne jusqu’à la racine des cheveux, qui termine le front. Le pied a la sixième partie de la hauteur du corps ; le coude, la quatrième, de même que la poitrine. Les autres membres ont aussi leurs mesures et leurs proportions ; c’est en les observant que les plus célèbres peintres et sculpteurs de l’antiquité ont acquis une réputation si grande et si durable.

Il en est de même des parties d’un édifice sacré : toutes doivent avoir dans leur étendue particulière des proportions qui soient en harmonie avec la grandeur générale du temple. Le centre du corps est naturellement au nombril. Qu’un homme, en effet, soit couché sur le dos, les mains et les pieds étendus, si l’une des branches d’un compas est appuyée sur le nombril, l’autre, en décrivant une ligne circulaire, touchera les doigts des pieds et des mains. Et de même qu’un cercle peut être figuré avec le corps ainsi étendu, de même on peut y trouver un carré : car si on prend la mesure qui se trouve entre l’extrémité des pieds et le sommet de la tête, et qu’on la rapporte à celle des bras ouverts, on verra que la largeur répond à la hauteur, comme dans un carré fait à l’équerre.

Quant à la quadrature du cercle, si elle est insoluble, elle a néanmoins donné l’idée de s’en moquer à Aristophane dans Les Oiseaux où Métôn, le géomètre ridicule et incompréhensible, en souffle quelques mots :

J’applique une règle droite, de manière à ce que tu aies un cercle tétragone ; au centre est l’Agora, les rues qui y conduisent sont droites et convergentes au centre, ainsi que d’un astre, qui est rond de sa nature, partent des rayons droits qui brillent dans tous les sens.